Eingegangen am 4. 12. 1979) Q 1. Einleitung Bezeichnet man fur natiirliche Zahlen a , b, c und n, a-=b-cc, mit d ( a , b, c ; n ) die Anzahl der Zerlegungen von n in der Form n=my, m,b, m$ ( m i , m2 und m3 ebenfalls natiirliche Zahlen), so lafit sich die summatorische Funktion D(a, b , c; z) = d ( a , b , c ; n ) ( z z 1) 1 sn cx darstellen als wobei [(s) die RIEMANNsChe Zeta-Funktion bedeutet und das Fehlerglied d ( a , b , c; z) von kleinerer Ordnung als die drei Hauptterme ist. (In wenigen Spezialfallen kann allerdings A(a, b, c ; ~) = O ( Z " ~ log 2) sein.) Die Bestimmung der Ordnung des Fehlergliedes kann mit verschiedenen Methoden erfolgen und liefert dementsprechend verschiedene Resultate. Der Spezialfall a= 1, b = 2 und c = 3 ist bereits ausfiihrlich untersucht worden. I n dieser Arbeit, die die Ergebnisse von [8] vorstellt, sol1 das dreidimensionale Teilerproblem fur beliebige natiirliche Zahlen a , b und c (a-=b-=c) in Verallgemeinerung einer Methode von P. G. SCHMIDT (siehe [6], auch [2]) aufbereitet und anschliefiend ein-ma1 trivial, zum zweiten mit elementaren Mitteln (ein Satz von WINOORADOW) und zum dritten mittels einer Methode von VAN DER CORPUT (Exponentenpaare) ausgewertet werden. Dabei spielen die Grofienverhaltnisse der Zehlen a , b und c eine entscheidende Rolle, und man erhalt bei allen drei Verfahren Ergebnisse, die durch Fallunterscheidungen gekennzeichnet sind. Der Vergleich der Resultate dieser Arbeit mit denen von KRATZEL (in [4]) zeigt, dafi es fur die Zahlen a , b , c (a-cb-cc) sowohl Bereiche gibt, in denen das Ergebnis von KRATZEL besser ist als samtliche Ergebnisse dieser Arbeit (vgl. Satz 9b)), als auch Bereiche, in denen die Resultate von KRATZEL von Ergebnissen dieser Arbeit iibertroffen werden. Das gilt zum Beispiel fur den bereits angefuhrten Rpezialfall a = 1, b = 2 und c = 3, fur den nach SCHWARZ und KRATZEL (vgl.