Teilerprobleme in drei Dimensionen

✍ Scribed by Ekkehard Krätzel

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1969
• Tongue: English
• Weight: 395 KB
• Volume: 42
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19690420408

✦ Synopsis

Q 1. Einleitung Seien a , b, c drei natiirliche Zahlen mit 1 5 a 2 b 5 e l ) , und bezeichne d (a, b, c ; k) die Anzahl der Zerlegungen der natiirlichen Zahl k in der Form nl,cntnz, in der nl , n2, n3 ebenfalls naturliche Zahlen bedeuten sollen. Untersucht werden sol1 die summatorische Funkbion B ( u , b, C ; X) = d ( a , b , C ; k ) ISkSx fiir grol3e x. Dieses Problem stellt einerseits eine Verallgemeinerung des PILTzschen Teilerproblems der Dimension 3 ( a = b = c = 1) dar und ist andererseits im Spezialfall a = 1, b = 2 , c = 3 von Interesse fur die summatorische Funktion der Anzahl der wesentlich verschiedenen ABELschen Gruppen n-ter Ordnung. Es wird sich herausstellen, dal3 sich D (a, b, c ; x) in der Form darstellen lafit, worin 5 (s) die RIEMaNmche Zeta-Funktion bedeutet. Bei dieser Darstellung mu13 a < b < c vorausgesetzt werden. Bei Gleichheit gewisser Zahlen a , b, c kann das Hauptglied durch Grenziibergang hergestellt werden. Bei Benutzung der allgemeinen Satze von LANDAU aus [ Z ] und [3] kann der Rest A (a, b, c ; x) sofort zu 1 ~ .~ 1 A (a, b, C ; X) = 0 (d'), A (a, b, C ; X) = 0 (x'+~+') . I) Diese Voraussetzung wird wahrend dcr gesamten Arbeit beibehalten und daher nie besonders betont.