Das Minimum-Problem
Auf einem linearen normierten Raum 11 sei das Zielfunktional FC (11 +%) gegeben. F heifit auf dem niclitleeren Steuerbereich G s U konvex, wenn G konvex ist, d. h. u, v€G=>ccu+(l-a) vEG a€[(), 11, und wenn die Ungleichung (1)
13 erfullt ist. F heifit stark konvex auf G, wenn uberdies
fur u, vEG und ein y > O ist. Den Steuerbereich G & U nennen wir schwach kompakt, wenn man aus jeder Folge {u,}gG eine Teilfolge auswahlen kann, die schwach gegen ein Element uEG kanvergiert. I m reflexiven Banachraum U = ?B ist beispielsweise jede konvexe beschrlnkte und abgeschlossene Menge G in unserem Sinne schwach kompakt [ l ] . 1st G schwnch kompakt, so niiniiit jedes unterhalbstetige konvexe. Funktional auf G sein Minimum an [ 2 , 31. Fur die Losung von Optimierungsprobleinen ist die Konvexitilt des Zielfunktionals daher eine sehr erwiinschte Eigenschaft. Noch gunstiger sind die Voraussetzungen, wenn das Zielfunktional F auf seinem Steuerbereich G stark konvex ist. Der Vollstandigkeit halber gehen wir das fur uns wesentliche Resultat niit Beweis an. Satz 1. FC (U --%) sei stark konvez und uizterhn1bbeschrtiizX.t auf G S 11. Dann ist jede Dlinimnlfolge auch Fundamentalfolge. Beweis. Nach Voruucisetzung ist ---=a =inf F ( u ) , Mininialfolgen existieren also. Sei {u,}SG eine Minimalfolge und zu E=-O F ( u , ) -= d + ~, falls n ~n , , . Fur n z no ist dann U Eff q. e. d. Korollar 1.1. Bedingungen wie in Sat2 1. Uberdies sei F unterhalbstetig und G vollstandig. Dunn besitxt das Minimum-Problem far F azlf G genuu. eine Losung up. Jede Minimalfolge von F konvergiert gegen 2iF.