In a cyclic number field KÂQ of prime degree, we determine the Galois structure of S-units, for all Galois invariant finite set S of places of K. In particular, we study the links between this structure and that of the S-class group.
2000 Academic Press
Dans un corps de nombres KÂQ cyclique de degre premier, nous de terminons la structure galoisienne du groupe des S-unite s, pour tout ensemble fini S de places de K invariant par Gal(KÂQ). En particulier, nous analysons les liens existant entre cette structure et celle du S-groupe de classes.
2000 Academic Press
Conside rons KÂk une extension de corps de nombres finie, galoisienne de groupe G, et S un ensemble fini de places de K, contenant les places infinies et invariant par l'action de G. On cherche aÁ de terminer la structure du groupe E S des S-unite s et aÁ relier celle-ci avec l'arithme tique de l'extension.
En ge ne ral, nous ne disposons que de peu de re sultats explicites, et on s'inte resse soit aux unite s, soit aux S-unite s pour un ensemble S assez grand''. En ce qui concerne les unite s, citons par exemple les articles [F] de A. Fro hlich et [Bu] de D. Burns, dans lesquels est e tudie e la structure galoisienne locale et globale du groupe des unite s de certaines classes d'extensions abe liennes de corps de nombres, et pour une approche plus algorithmique l'article [G] de G. et M.-N. Gras. Lorsque S est assez grand'', structure des S-unite s et valeurs de fonctions L sont e troitement lie es via la conjecture de Chinburg (voir par exemple les travaux de J. Ritter et A. Weiss [RW] et [We]).
Nous allons conside rer ici le cas d'une extension KÂQ cyclique de degre premier l. Remarquons que me^me pour une telle extension, la structure des unite s n'est pas compleÁ tement connue en de pit de l'apparente simplicite du probleÁ me (voir [B] et ci-apreÁ s, section 3.3).