Reihen nach Hankelschen Funktionen. Hermann Ludwig Schmid zum Gedächtnis

✍ Scribed by Stefan Schottlaender

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1958
• Tongue: English
• Weight: 547 KB
• Volume: 19
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19580190118

✦ Synopsis

Von STEFAN SCHOTTLAENDER in Hannoverl) (Eingegangen am 4. 12. 1957) 1. Es sei die unendliche Reihe nach Hankelschen Funktionen +-C ei"'HLi)(y+.na) n=O mit zunachst, beliebigen komplexen Parametern 8, v, y, a gegeben. Es soll untersucht werden, unter welchen .Bedingungen die Reihe (1) konvergiert und auf welche Weise der Wert von (1) mit Hilfe elementarer Funktionen exakt oder wenigstens mit vorgeschriebener Genauigkeit angenahert berechnet werden kann. Hierbei wird fur die Hankelschen Funktionen die sogenannte ,,Heinesche Integraldarstellung" HS" ( z ) = ( -i ) V + l -e-bg:0i v t d t (2) n 2j. 0 beniitzt2). Die Darstellung (2) ist giiltig fur alle komplexen v und alle komplexen z mit Q < arg z< n d. h. I m (2) > 0, wiihrend sie fur I m ( z ) 2 0 divergiert. I n einem ersten Schritt soll jstzt eine exakte Darstelhmg von (1) mit Hilfe eines (absolut konvergenten) uneigentlichen Integrals gegeben werden. Zur prnktischen Berechnung des Wertes von (1) wird dann weiterhin dieses Integral durch eine Reihe nach elementaren Funktionen mit beliebig vorgeschriebener Genauigkeit approximiert ; die Restabschatzungen werden angegeben.

2. fiber die komplexen Parameter 8, a, y sollen jetzt folgende Voraussetzungen getroffen werden :

(3) n =I= 0, Im(n) 2 0, Im(8) 2 0, Im(6) + Im(a) > 8, Im(y) > 0;