Das Picard-Lindelofsche Iterationsverfahren ist zunachst der Losung des Anfangswertproblems bei einer gewohnlichen Differentialgleichung erster Ordnung oder bei einem System von solchen angepal3t. Doch lafit es sich, wie bekannt,), so ausgestalten, da13 man es auch auf Randwertprobleme bei Differentialgleichungen zweiter Ordnung im Reellen anwenden kann.
Es liege etwa dns Probleni vor
y i p = ~( x , y ) , Y ( X , ) = O , t=-.1,23) mit einer in einem gewissen Gebiet 8 der (x, 9)-Ebene definierten stetigen Funktion P (x, y) , die dort einer Lipschitzbedingung geniige. Man kann dann folgenden Weg zur Losung einschlagen: Man gehe von einer beliebigen stetigen Funktion yo (x) in (xl, x,) aus, die den Randbedingungen genugt und fur die (x, yo(%)) E 8. yn((x) fur n = 1, 2, . . . sei definiert durch 9:: = F (x, Yn.-&)), y n ( 4 = 0 .
Zu untersiichen sind die beiden Fragen: 1. Kann diese Folge unbegrenzt gebildet werden? d. h. gilt stets (x, y,(x)) E a? Und wenn das zutrifft: 2. Konvergiert die Folge? 1st auch diese Frage zu bejahen, so ist y(x) = lim yn (x) eine Losung des Problems.
Wichtig in diesem Zusammenhang ist die Darstellung der bei x, verschwindenden zweiten Stammfunktion einer in (x, , z , ) stetigen Funktion durch eine Integraltransformation :
(1) -1) uber die nachstehend wiedergegebenen Untersuchungen habe ich am 27. 2. 1955 in Oberwolfach und am 1. 9. 1955 auf der Tagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung in Gottingen vorgetragen. Wertvolle Anregungen gaben mir im Anschlu5 an den ersten Vortrag Unterhaltungen mit Herrn Avakumovid. a) Vgl. E. PICARD, Lepons sur quelques problhmes aux limites de la th6orie des Bquations diffBrentielles. Paris 1930. V. G. AVAKUMOVI~, Uber die Randwertaufgabe zweiter Ordnung. Publ. Iast, math. Acad. Serbe Sci. 4, 1-8 (1952).
- Ausnahmslos sol1 im folgenden L das Paar 1, 2 durchlaufen.