Numerische Mathematik: Eine anschauliche modulare Einführung

✍ Scribed by Markus Neher

• Publisher: Springer Spektrum
• Year: 2024
• Tongue: German
• Leaves: 266
• Edition: 1
• Category: Library

✦ Synopsis

Dieses Lehrbuch bietet einen breit aufgestellten und dennoch kompakten Überblick zu den gängigen Verfahren der Numerik. Durch zahlreiche Beispiele und erläuternde Bemerkungen ist es besonders anschaulich und eignet sich auch – aber keinesfalls ausschließlich! – gut für Lehramtsstudierende.

Behandelt werden numerische Verfahren zur Lösung linearer und nichtlinearer Gleichungssysteme, zur Eigenwertberechnung bei Matrizen, zur Approximation univariater Funktionen sowie zur näherungsweisen Integration bezüglich einer Veränderlichen. Ein einführendes erstes Kapitel schafft insbesondere das nötige Grundverständnis für die zentralen Begriffe Kondition und Stabilität, die aber erst im letzten Kapitel rigoros diskutiert werden um den Einstieg in die Numerik nicht durch aufwändige Stabilitätsanalysen zu erschweren.

Die einzelnen Kapitel sind größtenteils unabhängig voneinander, teilweise können auch einzelne Abschnitte separat gelesen werden. Punktuelles Lernen und Nachschlagen ist damit problemlos möglich.

✦ Table of Contents

Vorwort für Lernende
Vorwort für Lehrende
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1.1 Symbolisches und numerisches Rechnen
1.2 Gleitpunktzahlen
1.3 Gleitpunktarithmetik
1.4 Algorithmen
1.5 Kondition und Stabilität
1.6 Landau-Symbole
1.7 Vektor- und Matrixnormen
2 Iterationsverfahren für nichtlineare Gleichungen
2.1 Fixpunktiteration
2.2 Lokale Fixpunktsätze
2.3 Relaxation
2.4 Das Newton-Verfahren
2.5 Verwandte Iterationsverfahren
2.5.1 Vereinfachtes Newton-Verfahren
2.5.2 Sekantenverfahren
2.5.3 Bisektionsverfahren und regula falsi
2.6 Iterationsverfahren im mathbbRn
2.7 Zusammenfassung und Ausblick
3 Direkte Verfahren zur numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme
3.1 Gauß-Elimination ohne Zeilentausch: LU-Zerlegung
3.1.1 Eliminationsmatrizen
3.1.2 LU-Zerlegung
3.1.3 Existenz der LU-Zerlegung
3.1.4 Cholesky-Zerlegung
3.2 Gauß-Elimination mit Zeilentausch: PALU-Zerlegung
3.3 Fehlerabschätzungen für lineare Gleichungssysteme
3.4 Praktische Durchführung des Gauß-Algorithmus
3.4.1 Pivotisierung
3.4.2 Aufwand des Gauß-Algorithmus
3.5 Die QR-Zerlegung einer Matrix
3.5.1 Orthogonale Matrizen
3.5.2 Gram-Schmidt-Orthogonalisierung
3.5.3 Reduzierte QR-Zerlegung
3.5.4 Householder-Matrizen
3.5.5 QR-Zerlegung durch Householder-Transformationen
3.6 Über- und unterbestimmte lineare Gleichungssysteme
3.6.1 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
3.6.2 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme
3.7 Zusammenfassung und Ausblick
4 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme
4.1 Splitting-Verfahren für lineare Gleichungssysteme
4.1.1 Fixpunktiteration für lineare Gleichungssysteme
4.1.2 Jacobi-Verfahren und Gauß-Seidel-Verfahren
4.2 Abstiegsverfahren
4.2.1 Die Methode des steilsten Abstiegs
4.2.2 Das cg-Verfahren
4.2.3 Vorkonditionierung beim cg-Verfahren
4.3 Projektionsverfahren für lineare Gleichungssysteme
4.3.1 Krylov-Unterräume
4.3.2 Krylov-Unterraum-Basen
4.3.3 Krylov-Unterraum-Verfahren
4.4 Zusammenfassung und Ausblick
5 Das Eigenwertproblem für Matrizen
5.1 Ähnlichkeitstransformationen
5.2 Eigenwertberechnung für symmetrische Tridiagonalmatrizen durch Bisektion und Newton-Verfahren
5.3 Potenzmethode und inverse Iteration
5.4 QR-Verfahren
5.5 Zusammenfassung und Ausblick
6 Approximation und Interpolation reellwertiger Funktionen
6.1 Approximation transzendenter Funktionen
6.1.1 Approximation mit Taylor-Polynomen
6.1.2 Argumentreduktion
6.2 Polynom-Interpolation
6.2.1 Interpolationsfehler der Polynom-Interpolation
6.2.2 Polynom-Interpolation mit Tschebyschow-Stützstellen
6.2.3 Kondition der Polynom-Interpolation
6.2.4 Hermite-Interpolation
6.3 Spline-Interpolation
6.3.1 Stückweise lineare Interpolation
6.3.2 Kubische C1-Interpolation
6.3.3 Kubische Spline-Interpolation (C2-Interpolation)
6.3.4 Minimierungseigenschaft
6.3.5 Interpolationsfehler der kubischen Spline-Interpolation
6.3.6 Kondition der kubischen Spline-Interpolation
6.3.7 Anwendung: Spline-Interpolation geschlossener ebener Kurven
6.4 Trigonometrische Interpolation
6.5 Approximation nach der Methode der kleinsten Quadrate
6.6 Nichtlineare Ausgleichsrechnung
6.6.1 Newton-Verfahren
6.6.2 Gauß-Newton-Verfahren
6.7 Zusammenfassung und Ausblick
7 Numerische Integration
7.1 Approximation durch Rechtecke und Trapeze
7.2 Quadratur durch Polynom-Interpolation
7.3 Newton-Cotes-Formeln
7.4 Summierte Newton-Cotes-Formeln
7.5 Extrapolation mit dem Romberg-Verfahren
7.6 Gauß-Quadratur
7.6.1 Orthogonale Polynome
7.6.2 Stützstellen und Gewichte bei der Gauß-Quadratur
7.7 Zusammenfassung und Ausblick
8 Gleitpunktrechnung, Kondition, Stabilität
8.1 Gleitpunktzahlen
8.2 Gleitpunktarithmetik
8.2.1 Fehlerfortpflanzung bei den arithmetischen Grundoperationen
8.3 Die Kondition eines mathematischen Problems
8.3.1 Fehlerfortpflanzung
8.4 Stabilität eines numerischen Algorithmus
8.5 Zusammenfassung und Ausblick
A Anhang A: Metrik, Norm und Skalarprodukt
B Anhang B: Darstellung der Matrizenmultiplikation durch dyadische Produkte
C Anhang C: Der Satz von Gerschgorin
D Anhang D: Auswertung von Polynomen
Literatur
Stichwortverzeichnis

✦ Subjects

Numerik anschaulich; Numerische Mathematik anschaulich; Numerik mit vielen Beispielen; Numerik-Überblick; Numerische Methoden im Überblick; Numerik für das Lehramt; Numerik für Lehramtsstudierende; Kondition und Stabilität