S ist dualisierbar, d.h. es gibt eine inklusionsumkehrende, bijektive
Abbildung yon S in einem geometrischen Komplex S*.
(ii) S ist durch ein invertierbares n-Diagramm darstellbar. Die Notwendigkeit dieser Bedingungen ist bekannt. Fiir eine nichtpolytopale 3-Sphiire mit 8 Ecken, die Briickner-Sphiire [6], wurde in [3] bewiesen, dab das 2-Skelett der abstrakten, dualen Sph~.re in keinen euklidischen Raum geometrisch einbettbar ist. Damit ist fiir diese Sph/ire (i) verletzt. In [6] wird erwiihnt, dal3 auch (ii) nicht erfiillt ist.
Wir geben in dieser Arbeit vier weitere 3-Sph~iren mit 8 Ecken an und weisen nach, dab das 2-Skelett ihres abstrakten dualen Komplexes in keinen euklidischen Raum eingebettet werden kann. Nur eine dieser Sph~iren ist simplizial (S~), die Barnette-Sphiire . Von den verbleibenden Sph~iren scheint nur eine ($3) bisher in der Literatur erwiihnt worden zu sein . NatiJrlich sind diese Sphiiren nicht polytopal. Dal3 (ii) ebenfalls nicht erfiillt ist, ist sehr leicht einzusehen.
Wir vermuten, dab unsere Sphiiren S~-$4 und die Briickner-Sph~ire alle nicht-polytopalen Sphiiren mit 8 Ecken darstellen. Sollte unsere Vermutung zutreffen, so ware die oben erw~ihnte Vermutung von Barnette und Griinbaum ftir 8 Ecken nachgewiesen.
SIMPLIZIALE UND QUASI-SIMPLIZIALE SPHAREN
Wir geben in Tabellen 1 und 2 die 3-Zellen der Sphi~ren $1 und $2 dutch ihre Ecken an. Daneben listen wir die Ecken der zu S1 und $2 dualen, abstrakten Komplexe S* und S* auf. Jede Ecke yon S* oder S* ist das Bild der danebenstehenden 3-Zellen yon $1 bzw. yon $2.
$1 entspricht der Barnette-Sph~re und $2 ist eine Sphi~re, die das Doppeltetraeder 34578 als 3-Zelle besitzt. $2 ist sowohl aus Sx als auch aus der