Faserungen von Homotopiesphiiren dureh Spharen
Voh JURCIEN EICHHORN in Greifswald (Eingegangen am 21.7.1975) Einleitung Gemiil3 [l] ist die SchlieBbarkeit eines Endes E einer glatten Mannigfaltigkeit gleichwertig der Existenz eines Randes fur E und der Faserbarkeit dieses Randes durch Sphiiren uber einer geschlossenen Mannigfaltigkeit als glattes orthogonales Sphkenbundel. I n dieser Arbeit wird folgender Teil studiert: E ein zahmes Ende einer Mannigfaltigkeit W n + i , q ( e ) =El2(&) = -* = H (8) -0. Dann ist der (fiir n= 4,5 sicher existierende) Rand eine Homotopiesphiire. Es wird also nach allen Homotopiespharen 2 gefragt, die uber einer geschlossenen Mannigfaltigkeit N"-' durch Sphken S' orthogonal fasern. Ausfiihrlich wird hier nur der Fall r z 2 betrachtet, da fur r=O, 1 obiges Problem gleichwertig ist dem Existenzprobfem fur freie SObzw. #*-Operationen auf einer (wobei im Fall r = 1 W-i als orientierbar vorausgesetzt werde). Ferner sind die P-', die dam als Adjunkte bei einer Schliehng fungieren, zu klassifizieren. Die Antwort ist uberraschend. Man erhiilt, daS nur die V e r dgemeinerungen der HoPFschen Faserungen und Faserungefi uber solchen M"-' mftreten konnen, die homotopieiiquivalent zu den klassischen projektiven Raumen sin& [TI -* -.-ni(S)+ni(~),ni(P-r)-.ni_i(Sr)* . * -* -m(Nn-") -n,(S') +7c1( F ) -ni(Nn-r) -7cf)(S'), S Z , H i ( w -' ) =0,15i s r , H r + i ( P -r ) s z . ni(M" -r ) s ni (Sr), q(P-') = 0,0 s i s r, nr+ (M*-') 2 ~$3')