On considere un systeme de Coxeter, un sous-systeme parabolique, et les deux à lgebres de Hecke correspondantes. Pour tout caractere de degre un de l'algebre ´d e Hecke parabolique, on considere le module induit de l'algebre de Hecke parabolique a la grande algebre de Hecke. Chacun de ces modules possede une ``Ž base standard et deux bases de Kazhdan᎐Lusztig invariantes par un automor-. phisme involutif du module considere . Il en resulte la definition, pour chaque ´´´ć aractere lineaire de l'algebre de Hecke parabolique, de deux familles de polynomes ´d e Kazhdan᎐Lusztig, dont on etudie les diverses proprietes: existence et unicite, ´´ś ymetrie, dualite, formules de recurrence, calcul en utilisant la notion de sous-´´é xpression distinguee d'un element du groupe de Coxeter. Cela generalise une ´´´´ć onstruction faite par Deodhar, laquelle correspondrait aux deux cas extremes des ĉaracteres indice et signe. Enfin, on etablit des formules donnant l'action de la ǵrande algebre de Hecke sur les modules induits en termes de bases de Kazhdan᎐Lusztig. ᮊ 1999 Academic Press
We consider a Coxeter system, a parabolic subsystem, and the two corresponding Hecke algebras. For each linear character of the parabolic Hecke algebra, take the induced module from the parabolic Hecke algebra to the large Hecke algebra. For Ž each module, there are a standard basis and two Kazhdan᎐Lusztig bases i.e., . invariant basis by an involution of Kazhdan᎐Lusztig type . So, for each linear character of the parabolic algebra, we have two families of Kazhdan᎐Lusztig polynomials, for which we compute the classical properties: existence and unicity, symmetry, duality, induction formulas, and computation of the polynomials using distinguished subexpressions of a Coxeter group element. This generalizes Deodhar's construction, which corresponds to the extreme case of sign and index characters. Finally, we give formulas for the action of the Hecke algebra on the induced modules in Kazhdan᎐Lusztig basis terms.