Einleitung
Das Ziel dieser Arbeit besteht darin, Raume von unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf lokal-kompakten Gruppen als lokalkonvexe Vektorraume zu betrachten und zu untersuchen. Diese Raume sind in [l] auf der Grundlage des dort entwickelten Differenzierbarkeitsbegriffs definiert worden. Es zeigt sich, da13 die Untersuchungen in naturlicher Weise mit eingehenden Aussagen uber die Struktur von LP-Gruppen verknupft sind. Dabei kommt denjenigen LP-Gruppen eine besondere Bedeutung zu, deren samtliche Faktorgruppen mit endlichdimensionaler LIE-Algebra LIE-Gruppen sind. Fur derartige Gruppen, die wir als L-Gruppen bezeichnen werden, zeigen die im zweiten Absehnitt bewiesenen Satze, da13 sie in der Klasse aller LP-Gruppen die gleiche Rolle spielen wie die LIE-Gruppen in der Klasse der LP-Gruppen mit endlichdimensionaler LIE-Algebra, denen der erste Abschnitt gewidmet ist. Im letzten Teil der Arbeit werden dann Strukturaussagen fur Raume von differenzierbaren Funktionen auf lokal-kompakten Gruppen hergeleitet, die init einer Charakterisierung der erwahnten L-Guppen in engem Zusammenhang stehen.
1. Endlichdimensionale zusammenhangende LP-Gruppen
Unter einer eizdlichdimensionalelz LP-Gruppe verstehen wir im folgenden abkiirzend eine LP-Gruppe mit endlichdimensionaler LIE-Algebra. Typische Beispiele fur endlichdimensionale zusammenhangende LP-Gruppen, die keine LIE-Gruppen sind, stellen die a-adischen Solenoide dar, die man durch Vervollstandigung der additiven Gruppe der reellen Zahlen bezuglich gewisser Normalteiler-Topologien erhalten kann. I n [2] werden folgende Aussagen bewiesen, die diesen Sachverhalt fur beliebige endlichdimensionale zusammenhangende LP-Gruppen verallgemeinern.
Sei G eine endliclidimensionale zusammenhangende LP-Gruppe mit der Topologie z. Dann gilt a) G genugt dem ersten Abxahlburkeit.saxiom und ist lokal-kompkt;