Existenz und Mannigfaltigkeit abelscher Algebren mit vorgegebener Galoisgruppe über einem Teilkörper des Grundkörpers. III

✍ Scribed by Helmut Hasse

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1948
• Tongue: English
• Weight: 385 KB
• Volume: 1
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19480010502

✦ Synopsis

Der vorliegende Teil I11 bripgt zwei verschiedene Ergknzungen zu den in dieser Zeitschrift unter gleichem Titel erschienenen Teilen I, 111).

In Q 1 wird ein in Teil I, Q 3, 2 ubergangener Punkt niiher ausgefiihrt.

1st unter den dortigen Gegebenheiten K/R eine abelsche Algebra mit der Gruppe % und K,/R ihr Kernkorper mit der Untergruppe %, , so handelt es sich um die Frage, wie die betrachtete Eigenschaft, daB K/R, galoissch mit der Erweiterungsgruppe @ = (a; r, 6 ) ist, in der Struktur yon K,/R, zum Ausdruck kommt. Als Antwort stellt sich folgendes heraus : Einerseits transformiert die homomorphe Darstellung r von g durch Automorphismen von % die Untergruppe %, in sich, liefert also eine homomorphe Darstellung To von Q durch Automorphismen von 210. Andererseits enthiilt die Faktorensystemklasse 6 zu g , r in Systeme aus lauter Elementen der Untergruppe a,, entsteht also aus einer Faktorensystemklasse 6, zu 9, To in 8,. Es ist dann K,/R, galoissch mit der Gruppe a, = (210; To, 6,). Mit dieser Feststellung wird die in der Einleitung von Teil I nur grob formulierte Bemerkung iiber die Bedeutung des Inbetrachtziehens der abelschen Algebren neben den abelschen K o r p e r n prlizisiert.

In Q 2 wird die in Teil I, Q 3, 3 ausgesprochene Vermutung (V.