Elliptische Kurven mit vorgeschriebenem Reduktionsverhalten. II

✍ Scribed by Olaf Neumann

• Book ID: 102941111
• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1973
• Tongue: English
• Weight: 508 KB
• Volume: 56
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19730560127

✦ Synopsis

Einleitung

I n der Note [22] wurde damit begonnen, Klassen von elliptischen Kurven iiber Q mit einer oder zwei kritischen (,,schlechten") Primzahlen anzugeben. Dieses Programm wird hier fortgefuhrt. Das Hauptergebnis der vorliegenden Note besteht in der vollstandigen Aufzahlung der elliptischen Kurven mit einer definierenden Gleichung der Form ZJ~ = X(Z' + b,X + b4) und mit einer einzigen kritischen Primzahl ( 0 7). Dabei spielen die Primzahlen der Form c* + 64 eine Rolle. Man kann ubrigens zeigen, daB der Rang der auftretenden Kurven hochstens Eins betragt.

Die Aufgabenstellung lafit sich durch folgende Uberlegungen auf andere Fragen zuruckfiihren. Es geniigt, sich mit solchen Kurven zu beschaftigen, die unter ihren Formen dadurch ausgezeichnet sind, daB sie die kleinstmogliche Menge voii kritischen Primzahlen besitzen (RM-Kurven im Sinne von [22], Q 4). Die RM-Kurven sind bis auf triviale Transformationen durch den Wert ihrer absoluten Invariante j festgelegt. Umgekehrt existiert zu jedem j-Wert eine RM-Kurve ([22], Satz 4.2). Es genugt also, die in Frage kommendenj-Werte zii bestimmen. Zu diesem Zweck ziehen wir die arithmetischen Eigenschaft,en der Korper der Modulfunktionen m-ter Stufe heran. Die Grundlage dieser Uberlegungen ist folgende Verallgemeinerung eines in [7], Q 3, ausgesprochenen Sachverhalts. Behauptung. Seien k, w, p , beziehungsweise ein Korper, eine diskrete Bewertung von k mit vollkommenem Restklassenkorper und die Charakteristik des Restklassenkorpers von w. Sei j E k, j + 0 , 123; pw =+ 2. Dann haben wir die Gleichwertigkeit folgender Aussagen: a) Es gibt eine elliptische Kurve E mit guter Reduktion modulo w und j ( E ) = j ( d . h. j E J ( w ) ) ;