Sei K ein Korper, w eine diskrete Bewertung von K mit dem vollkommenen Restklassenkorper k, D der Ring der w-ganzen Elemente von K . Die Restklassencharakteristik von w bezeichnen wir mit pw . Sei E eine uber K definierte elliptische Kurve. Nach Definition ist E w-regular (oder: E besitzt gute Reduktion modulo w) genau dann, wenn es ein. irreduzibles, reduziertes, flaches, eigentliches Schema E, uber E gibt mit folgenden Eigenschaften : I) Die allgemeine Faser E, x K ist isomorph zu E ; 11) die spezielle Faser E, x k = E ist eine elliptische Kurve uber k. Das Schema E , ist dann ein w-minimales Model1 im Sinne von NBRON [6] und ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Nach DEURINCI ([4], Satz 3) und NBRON ([el, Chap. 111) ist E, die projektive AbschlieBung eines affinen Schemas Spec 0 [z, y] mit .2/2+alz.2/+any=z"+a,x'+n;l,x+uG (a,,all,a:<,a4,aGEO). Der Nullschnitt Spec S: 3 E,, ist der ,,unendlich ferne" Punkt. Wenn K ein Zahlkorper ist, bezeichnen wir im AnschluB an SCHAFARE-WITSCH [lo] als kritische Primdivisoren von E diejenigen Primideale p, fiir die keine gute Reduktion von E modulo wu existiert. Das Hauptziel der Arbeit ist die Beschreibung von einigen Klassen elliptischer Kurven uber Q mit ein oder zwei kritischen Primzahlen und die Untersuchung ihrer arithmetischen Eigenschaften. Die Auswahl dieser Klassen hing naturlich ab von der Schwierigkeit der dabei zu losenden diophantischen Gleichungen. Der Q 3 des vorliegenden ersten Teils und der vorgesehene zweite Teil der Arbeit enthalten in neubegrundeter Form einen Teil meiner Dissertation. Ich mochte nicht versiiumen, hier I. R. SCHAFAREWITSCH (Moskau) meinen herzlichsten Dank auszusprechen, da er mich wiihrend der Anfertigung der Dissertation anleitete. 1 2 3 4 5 Die ersten drei Paragraphen sind vorbereitenden lokalen Untersuchungen gewidmet. Danach wird die erhaltene lokale Information auf die Situation im Globalen angewandt. * 2 2 * 2 2 * 2 , 3 8 1. Der Wertevorrat des Fiihrers Die Symbole K, w, k, D, pw sollen die gleiche Bedeutung wie in der Einbitung haben. Mit ,,Kurven" sind im weiteren immer ,,iiber K definierte elliptische Kurven" gemeint. Mit J (w) bezeichne ich wie in [7] die Menge d e r j E K mit der Eigenschaft, daB wenigstens eine w-reguliire Kurve der Invariante j existiert. Unter dem ,,Satz von DEURINQ" verstehen wir folgende Aussage: Sei E eine w-reguliire Kurve. Sei E' eine K-Form von E . Dann ist E' w-reguliir genltu dann, wenn w im Transformationskorper von E, E unverzweigt ist ([4], Satz 4). Fiir jede Kurve E ist der w-Exponent f (E) des Fuhrers von E definiert (8. [9]; [14], f 2). Sei die absolute Invariante j E K gegeben. Wir untersuchen zuniichst, welche Werte f ( E ) annehmen kann, wenn E alle Kurven mit der Invttriante j durchlituft. Sat2 1.1. Sei Char K = 0, j E K , j =i= 0, 26 33. Der Exponent f kann folgende Werte annehmen: Invariante j 1 mogliche Werte vonf 1, 2 + 2 . 3-1 (3, tu (j)) x 092 0 , 2 + 2 % 2 2 + (2, (j -123)) v 2 + 3-1 (3, u ' (j,) x I n den Zeilen 1 bis 6 wird der kleinstmogliche Wert 0 , 1, 2 fur eine gewisse