Ein Existenzbeweis fur schlichte Losungen linearer elliptischer Differentialgleichungssysteme dureh eine Integralgleichung Von REINER KUHNAU und HEINRICH RENELT in Halle an der Saale (Eingegangen am 28.7.1975) 8 1. Einleitung In vorliegender Mitteilung sol1 ein neuer Reweis gegeben werden fur folgenden Satz. Sei v(z) eine fast iiberall in der z-Ebene definierte megbare Funktion mit IIvII-= ess sup lv(z) I -= 1 . Dann gibt es eine stetige schlichte Abbildung w ( z ) d'er vollen Ebene (einschlieglich des unendlich fernen Punktes) auf sich, die fast iiberall -( 1 ) w, =v(z) w, erfiillt, deren Ableitungen wz, wi lokal zu L, mit einem nur von IIvII.. abhangigen p > 2 gehoren und die drei beliebig vorgegebene untereinander verschiedene Punkte z ,, z2, z3 der vollen Ebene der Reihe nach in drei beliebig vorgegebene untereinander verschiedene Punkte wI, w2, w,) der vollen Ebene iiberfuhrt. Diese Abbildung ist sicher dann eindeutig bestimmt, wenn im Falle wJ = 00 zusatzlich vorausgesetzt wird, dug in irgendeiner Umgebung von z.! entweder scharfer gilt ess sup Iv(z)l-= 3 -2 1 2 oder dug v(z) dort ( i m Falle zJ = 00 auf der Zahlenkugel bzw. nach Sturzung betrachtet) holderstetige partielle Ableitungen erster Ordnung besitzt, bzw. wenn im Falle beliebiger wi f i n e dieser beiden Voraussetzungen auf der vollen z-Ebene erfullt ist. W e n n speziell v=0 ist in einer Umgebung IzI>R von 00, so existiert genau eine (1) erfiillende Abbildung der vollen Ebene auf sich, die fiir 121 R eine Entwicklung mit vorgegebenem konstanten A + 0 besitzt. Durch eine bereitv von J. J. GERGEN und F. G. DRESSEL [5] verwendete Zerlegung ist damit unter Benutzung bekannter Ergebnisse uber BELTRAMIabbildungen (siehe z. R. [l]) auch sofort die Existenz und eindeutige Bestimrntheit einer Abbildung der vollen Ebene auf sich, die -(1') wg = A x ) w, +W w, mit Ilpll-+ l l vl l ..-= 1 erfiillt, gesichert.