Nullstellenvorgaben für Lösungen linearer Randwertprobleme elliptischer Differentialgleichungssysteme Dem Gedächtnis von Hermann Ludwig Schmidt gewidmet

✍ Scribed by Joachim Jaenicke

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1958
• Tongue: English
• Weight: 745 KB
• Volume: 18
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19580180111

✦ Synopsis

Von JOACHTM JAENICKE aus Berlin (Eingegsngen am 22.7.1957) l) Die Chardtteristik n der Rendbedingung (1) wird in Q 2 erkliirt. *) Auch Mr die Msung inhomogenet Systeme kann men Nullstellen im ebgeschlotmmrn Qebiet vwgeben [20]. Jeenicke, Nullstellenvorgaben fiir L6sungen hearer Randwertprobleme 107 W v e k t o r s 1, ) a(8t) = W), ~( 8 ) ) w l u e e n a). Die Losung wird konstruiert. Im allgemeinen steht fur die Losung genau dk Charakteristik n der Randbedingung zur Verfugung. Die gesuchte Liisung Wkd dem unstetigen Randvektor a ( 8 ) angeglichen, indem in den Sprung-8bllen und in gewissen Nullstellen von a(8) fiir die Lijsung geeignete Pwcelnullstellen vorgegeben werden (gebundene Nuhtdlen) . Dadurch wird rln Teil der Charakteristik n verbraucht (gebundene Charakteristik) . Es H I @ sich, daB der verbleibende Rest von n , die freie Charakteristik n', Bur Vorgabe von Nullstellen im abgeschlosaenen Gebiet zur Verfugung steht. Nech Losung des Problems beim homogenen System erfolgt diejenige dm inhomogenen Systems wie bei W. HAACK [3]. Meinem Lehrer, H e m Professor Dr. W. HAACK, bin ich nicht nur fur die Anregung zur Untersuchung dieser Problemstellung, sondern auch fiir dele wertvolle Hinweise und kritische Bemerkungen zu groDem Dank verpfliohtet. 108 Jaenicke, Nuilstellenvorgaben far Ldsungen hearer Randwertprobleme V . 2. a(%) sei bis auf hiiehstens edlich viele Spungstellen stetig, besitzs hiichstens endlich viele Nullstellen und habe eine Charakteristik n . f(s) 6, sed im wesentlichen stetig') . Mit unseren Bezeichnungen lafit sich die Randbedingung (1) als Skalm produkt schreiben ; ( 5 ) a(%) -u(%),= f(s).

2. Die Charakteristik der Randbedingung Aus a(%) bilden wir Diese Vektorschar ist abgesehen von den Sprungstellen von a(%) uber- all dort erkliirt und stetig, wo a (%) =f= 0 ist. Wir machen die Vorausaetzung: Der Einheitsvektor a, ('8) strebe an jeder dieser Nullstellen von beiden Seiten her gegen genau je eine Grenzlage, d. h. V. 3. a,(%) sei eine bis auf endlich viele Spungstellen stetige Vektorschm; in jedem dieser abgesehlossenen Stetigkeilsintervalle sei a, (%) stetig differew zierbar . Dann existiert*) n = (5: {a,(%)} = (5: {a (8)) und wird hier definiert duroh . (7) si (i = 1, . . . , J ) sind die endlich vielen Sprungstellen von a,(%). Formel (7) en t ha1 t die Anssage. n = (E{a,(%)} ist die durch 2 z dividierte Summe der etetigen Drehungen, die a,(%) bei einem psitiven Umlauf 21012 % ausftihrt. DreM s k h a,(%) entgegengesetzt dem Umlaufttinn von '8, so ziihlt diese Drehung negativ . Spriinge von a,(%) liefern in (7) keinen Beitrag. Daher gilt Anssage. n kann jede reelle Zahl sein. Q 3. Grundzuge des Beweises von W. H A A C R ~) W. HAACK behandelte in [3] das Randwertproblem zunachst fiir homogene Systeme. a(%) wird dort stetig mit a(%) + 0 vor+uagesetzt; d. h. n = (E {a(fR)) ist eine game ZaM. n sei negativ, so daD'man fiir u im Innern des Gebieter z. B. 1 .1 einfache Nullstellen vorgeben kann. Diese Nullstellen mien C f = q + i y f (i= 1 , . . ., I n [ ) .

@) 8 aei die Bogenliinge auf Dt. ') ~e n a u e e sagt v. 6. 8) FYir Charakteristik werde abkbendQ geachrieben; &{a,(Dt)} sou heiBen: &von 00(8)~ @) Die Darstdlung dea Beweieganges weioht im Hinblick auf die folgende Erweiterun# des Beweises von der Darstellung ab, die W. HAACK En 131 selbst wiihlte.