Die Lage der Nullstellen eines Polynoms II

✍ Scribed by Wilhelm Specht

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1957
• Tongue: English
• Weight: 227 KB
• Volume: 16
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19570160308

✦ Synopsis

Bildet man aus den Koeffizienten eines komplexen Polynoms

f ( z ) = z n +al zn-l + a2 zn-' + --. + a, B = B ( y ) = max (1(-4IY-"L Izl<r (1 +B) mit einer beliebigen positiven Konstanten y die Grol3e 1 l v S n so liegen bekanntlich samtliche Nullstellen des Polynoms f (z) im Kreisgebiet der komplexen Zahlenebene. Beriicksichtigt man indes auch die Abweichungen dieser Werte vom Maximum B, so lafit sich diese Abschiitzung in folgender Weise zu einer hiiufig wesentlich genaueren Aussage verscharfen : Satz 1. Aus den Koeffizienten eines komplexen Polynoms f (z) = zn + a, zn-l + a2 z " -~ + . + a, vom Grade n bilde man mittels einer beliebigen positiven Konstanten y die Wertereihe b, = a, y -l ; b2 = a2 y -2 ; . . .; bn = a , y -n und ordne die absoluten Betrage I b, I der Grope nach: B = B (Y) = B 1 2 B 2 2 * * 2 B n -1 2 B n * Dann liegen samtliche Nullstellen des Polynoms f (2) im Kreisgebiet I z I < y (1 + a) mit der Grebe Die Grofie a kann unter Verwendung der Differenzen