Die charakteristischen Kurven (kurz C-Kurven) einer elliptisch gekriimmten, nabelpunktfreien C2-Fl~iche qb des dreidimensionalen euklidischen Raumes E 3 sind jene F1/ichenkurven, deren Tangenten in jedem Kurvenpunkt die Diagonalen des Rechtecks berfihren, das die Scheiteltangenten der Dupinschen Indikatrixellipse bestimmen. Diese Kurven -die sich analog auf hyperbolisch und parabolisch gekriimmten F1/ichen erkl/iren lassen und mit den Schmieglinien dieser Fl/ichen zusammenfallen -bilden auf • ein konjugiertes Netz und haben seit Dupin immer wieder das Interesse der Geometer gefunden. 1
Im folgenden werden alle Drehfl/ichen mit ebenen C-Kurven ermittelt. Dieses Problem fiihrt analytisch auf eine nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung fiir die Drehfl/ichenmeridiane, die nach geeigneter Transformation elementar integrierbar ist. Hier wird jedoch zur Ermittlung der fraglichen F1/ichen ein vorwiegend geometrischer Weg beschritten. Dabei zeigt sich, dab alle Drehfl~ichen mit ebenen C-Kurven aus einer einzigen Normdrehflftche hervorgehen, deren C-Kurven in drehachsenparallelen Ebenen liegen.
Zun/ichst wird die Differentialgleichung der C-Kurven einer F1/iche aufgrund der Tatsache hergeleitet, dab zwei F1/ichenrichtungen, die beziiglich zweier symmetrischer Bilinearformen konjugiert sind, sich bezfiglich einer daraus gewonnenen quadratischen Differentialform als selbstkonjugiert erweisen. Damit ergibt sich die Differentialgleichung der C-Kurven einer F1/iche in einer bisher nicht verwendeten Determinantenschreibweise. Anschliel3end werden die gesuchten Drehfl~ichen auf Kriimmungsparameter bezogen und im projektiv abgeschlossenen E 3 alle drehfli~chentreuen Projektivitftten ermittelt, die zugleich kriimmungslinien-und C-Kurven-treu sind. Bei Beachtung dieser Projektivit/iten gelingt es, die erw/ihnte Normdrehfl/iche mit ebenen C-Kurven anzugeben; aus ihr entstehen alle Drehfl/ichen mit ebenen C-Kurven durch Anwendung der ermittelten Projektivit/iten. Es genfigt, diese Projektivit/iten in der Hauptmeridianebene der Normdrehfl/iche auf den Normmeridian anzuwenden. Dabei lassen sich drei Typen von Bildmeridianen (und damit yon Bilddrehfl/ichen) unterscheiden, je nachdem die i Siehe [1], [2] und die dort zitierte Literatur.