Das wohl wesentlichste ungeloste Problem des Pradikatenkalkiils der ersten Stufe mit Identitiit (IK) ist bislang das sogenannte Repriisentantenproblem. Hierbei handelt es sich um die Frage, zu genau welchen Klassen K von Kardinalzahlen es einen Ausdruck H des IK2) gibt, so daD fur jede Kardinalzahl ttt gilt: m E K genau d a m , wenn H m-zahliga) erfiillbar ist (erfiillbarkeitstheoretische Form), bzw., zu genau welchen Klassen K von Kardinalzahlen es einen Ausdruck H des IK gibt, so daB fur jede Kardinalzahl m gilt: m E K genau d a m , wenn H m-zahlig allgemeingiiltig ist (allgembingiiltigkeitstheoretische Form). Nun ist bekanntlich ein Ausdruck H des IK dann und nur dann m-zahlig erfiillbar (efm H ) , wenn seine Negation -H m-zahlig allgemeingultig ist, und entsprechend ein Ausdruck H dann und nur dann m-zahlig allgemeingiiltig, wenn seine Negation -H m-zahlig erfiillbar ist. Daraus folgt, daD eine Klasse von Kardinalzahlen genau dann allgemeingultigkeitstheoretisch repriisentierbar ist, wenn ihre Komplementiirklasse in bezug auf die Klasse aller Kardinalzahlen erfiillbarkeitstheoretisch reprasentierbar ist. Damit ist das allgemeingiiltigkeitstheoretische ReprLsentantenproblem in einfacher Weise auf das erfiillbarkeitstheoretische Reprasentantenproblem zuruckgefuhrt. Es bedeutet also keine Einschriinkung der Allgemeinheit, wenn wir uns im folgenden ausschlieBlich mit dem erfullbarkeitstheoretischen Repriisentantenproblem befassen. Es sei nun K eine beliebige (erfiillbarkeitstheoretisch) reprisentierbare Klasse von Kardinalzahlen und H ein Ausdruck des IK, der die Klasse K repriisentiert, so daD also fur jede Kardinalzahl m gilt : m E K genau dann, wenn efmH. Es sei ferner M die Menge der in K enthaltenen natiirlichen Zahlen. Dann gilt speziell fur jede natiirliche Zahl n : n E M genau dann, wenn efnH; wir wollen hierfiir auch sagen: Der Ausdruck H reprasentiert die Menge M von natiirlichen Zahlen.
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Die Anregung zu dieser Arbeit verdanke ich meinem verehrten Lehrer, Herrn Prof. Dr. K. SCHROTER. u b e r die Resultate dioser Arbeit habe ich auf der Tagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1955 in Gottingen berichtet.
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Beziiglich dieser und der weiteren hier nicht erklkrten Begriffsbildungen und der darauf aufbauenden elementaren Siltze siehe H. HERMES und H. SCHOLZ, Mathematische Logik, Enzyklopiidie der mathematischen Wissenschaften, 2. Aufl., Band 11, Heft 1, Teil I, Leipzig 1952, insbesondere Abschnitt 3 m d 4, bzw. K. SCHROTER, Theorie des logischen SchlieBens I , diese Zeitschr. I, 37-86 (1955), insbesondere 8 2.1.
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Um unliebsame Fallunterscheidungen zu vermeiden, soll in der vorliegenden Arbeit aucli der Fall m = 0 zugelassen sein, und zwar soll kein Ausdruck 0-zahlig erfiillbar und jeder Ausdruck 0-zahlig allgemeingultig sein (dies ergibt sich ubrigens auch unmittelbar, wenn man die ublichen Definitionen rein formal auf den leeren Individuenbereich ausdehnt).