Über die Ausdrucksfähigkeit des Prädikatenkalküls der ersten Stufe mit Funktionalen. Dem Andenken an Heinrich Scholz gewidmet

✍ Scribed by Günter Asser

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1956
• Tongue: English
• Weight: 964 KB
• Volume: 2
• Category: Article
• ISSN: 0044-3050
• DOI: 10.1002/malq.19560021603

✦ Synopsis

tfBER DIE AUSDRUCKSFAHIGKEIT DES PRADIKATENKALKULS DER ERSTEN STUFE MIT FUNKTIONALEN1) Dem Andenken an HEINRICH SCHOLZ gowidmet Von GUNTER ASSER in Berlin 1. I m AnschluB an meine Arbeit uber das Reprasentantenproblem im Pradikatenkalkul der ersten Stufe mit Identitatz) hat Herr Prof. sCHoLZ3) die Frage aufgeworfen, welche Mengen von naturlichen Zahlen im Pradikatenkalkul der ersten Stufe mit Funktionalen definierbar siiid. In der vorliegenden Arbeit sol1 gezeigt werden, daB im Hinblick auf das Reprasentantenproblem und in noch vie1 allgemeinerer Hinsicht der Pradikatenkalkul mit Funktionalen nicht ausdrucksfahiger ist als der ohrie Funktionale. Es wird namlich gezeigt, d a 5 man zu jedem Ausdruck H des Pradikatenkalkuls mit Funktionalen, und zwar sowohl mit als auch ohne Identitat, einen Ausdruck H* und einen Ausdruck H** des Pradikatenkalkuls ohne Funktionale angeben kann, so d a 5 fur jeden nichtleeren Individuenbereich J gilt: ag,H genau dann, wenn ag,H* und e f J H genau dann, wenn e f J H**. Wir wollen H* die allgemeingultigkeitstheoretische urid H** die erfullbarkeitstheoretische Reduzierte von H nennen (Rd ag ( H ) , R d ef ( H ) )

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Aus den genannten Satzen folgt sofort, daB im Pradikatenkalkiil mit Funktionalen dieselben Mengeri von natiirlichen Zahlen reprasentierbar sind wie in dem ohne Funktionale und daB .im Pradikatenkalkul mit Funktionalen dic aus dem Pradikatenkalkul ohne Funktionale bekannten Reduktionssatze fur die Allgemeingultigkeit und die Erfullbarkeit gelten. Wir werden ferner zeigen, da5 man mit Hilfe der Reduzierten von H die Axiomatisierungstheoreme fur den Pradikatenkalkiil mit Funktionalen auf die fur den Pradikatenkalkul ohne Funktionale zuruckfuhren kann. Ebenso erhalt man z. B. auch den Endlichkeitssatz fur den Pradikatenkalkul mit Funktionalen leicht aus dem Endlichkeitssatz fur den Pril- dikatenkalkiil ohne Funktionale, U S W . ~) Die Ausdrucksbestimmungen und die Jnterpretation fur den Pradikatenkalkul mit und ohne Funktionale setzen wir im wesentlichen als bekannt voraus.6) Damit jedoch keine Zweifel iiber die Bedeutung der von uns verwendeten Begriffe und Bezeichnungen bestehen, sollen sie hier kurz zusammcngestellt werden.

1. ober die Resultate dieser Arbeit habe ich auf der Tagung der Deutschen Mathematiker-2) G. ASSER, Das Reprasentantenproblem im Pradikatenkalkul der ersten Stufe mit Identitat.

2. In eineni Brief vom 24. 6. 56 an mich. 4) Einige diescr Satze wurden bereits friiher von HASENJAEGER mit Hilfe von topologischen Methoden direkt bewiesen. Vgl. G. HASENJAEGER, Topologische Untersuchungen zur Semantik und Syntax eines erweiterten Pradikatenkalkuls. Archiv fur mathematische Logik und Grundlagenforschung 1, 99-129 (1952).

3. Vgl. z. B. HASENJAEGER, a. a. 0. In einigen Punkten weichen allerdings die hier verwendeten Bezeichnungen von denen bei HASEEJAEGER ab.