Die stufenfreien Systeme konnen schon im einsortigen Pradikatenkalkul der ersten Stufe (sogar ohne Identitlit) formalisiert werden. AuBerdem liefert der Klassenkalkul von J. V. NEUMANNwir beziehen uns im folgenden bei stufenfreien Aufbauarten stets auf diesen -im Gegensatz zur Typentheorie noch gewisse Klassen, die keine Mengen sind, wie etwa die Klasse aller Kardinalzahlen, die Klasse aller Ordinalzahlen, die Klasse aller Mengen usw., welche aber im Verlaufe der Theorie vorteilhafte Verwendung finden.
Wir stellen uns nun zum Ziele, die RnssELLsche Typentheorie und den J. v. NEU-MANNschen Klassenkalkul unter Beibehaltung der eben genannten Vorteile dieser Systeme und Beseitigung ihrer Nachteile zu verschmelzen. Das resultierende System soll also im einsortigen Pradikatenkalkul der ersten Stufe darstellbar sein, es soll Stufen besitzen, welche ein einheitliches Mengenbildungsprinzip zu formulieren gestatten, und mit den Stufen auch Allmengen; der Stufenaufbau mu13 inhomogen und transfinit seh, und es mussen alle Klassen im J. V. NEUMANNschen Sinne im System enthalten sein. Dieses Ziel erreichen wir, indem wir den beabsichtigten Stufenaufbau durch Hinzunahme einer binaren Stufenrelation ,,s " (stufenkleinergleich) zur ,,€"-Beziehung innerhalb des Systems von J. v. NEUMANN algebraisch fassen. Es ist durchaus denkbar, d a B man, ohne axiomatische Einfuhrung einer Stufenrelation, im System von J. V. NEUMANNetwa durch Aufnahme noch einer Grundbeziehung
,,x ist Individuum" oder der leeren Menge ,,@" -Stufen mit Hilfe von Ordinalzahlen definieren kann.l) Man kann auch mit ,,€" und ,,@" Allmengen definieren und iiber diese dann die Stufen. Aber bei der Durchfuhrung braucht man schon spezielle Mengenbildungsaxiome, und das uber solche Stufen eingefuhrte Mengenbildungsprinzip steht erst am Ende einer langeren Entwicklung. Es geht uns hier jedoch in erster Linie um eine ubersichtliche und systematische Darstellung der Qpentheorie innerhalb des Pradikatenkalkuls der ersten Stufe, die verlangt, von vornherein sofort Stufen und Allmengen zur Verfiigung zu haben, und weniger urn eine Darstellung mit geringsten Hilfsmitteln. Es scheint daher fur uns der oben skizzierte Weg der axiomatischen Einfuhrung der ,,s"-Relation der geeignetere zu sein.