Bemerkungen zur Theorie der bewerteten Körper

✍ Scribed by Benno Klotzek; Hanns Joachim Weinert

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1969
• Tongue: English
• Weight: 1008 KB
• Volume: 39
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19690390106

✦ Synopsis

Unter einer Bewertung eiiies Korpers 8 versteht man bekanntlich ein Paar (p, K ) , wobei K ein geordneter Korper und p eine eindeixtige Ab-

1 p(a) > 0 fiir alle a =+ 0. ~( 0 ) = 0 I1 111 erfiillt. Dabei ist die eigentliche Beuertung naturlich schon durch die Menge @ = p (R) der Bilder voii 9, also durch eine geordnete Nulluntergruppe des sog. Wertekorpers K festgelegt. Dagegen sind die fiir die meisten Uberlegungen tragenden Begriffe der Koiivergene ixnd des Grenzwertes von Folgen aus 9 (die ja ublicherweise zunachst auf K bezogen werdeii) wesentlich V O K ~ der Wahl von K bzw. der Einbettung von @ in K abhangig. Allerdings spielt dies keine Rolle. wenn man sich auf arcliimedisch geordnete Wertekorper K beschrankt, die mail d a m aber auch gleich als Unterkorper des Kiirpers der reellen Zahleii auffassen bzw. iiberhaupt durch dicsen Korper ersetzeii kann. Neben diesem Fall steht bei den umfangreichen Anwendungen der Bewertnngstheorie noch der Fall im Vordergrund, daB statt 111 sogar 111' erfiillt ist. Hier bezieht man sich iiach KRULL [4] (unabhangig von der Umschreibung als Exponcntenbewertung) aiich hinsichtlich der Konvergenz nur noch auf die Werteiiullgruppe @ = qj (R), die bei den sog. allgemeinen Bewertungen auch iiichtarchimedisch geordnet sein kann. Entsprechendes gilt fur die allgemeinen Bewertungen im Sinne von KOWALSKY-DURBAUM [3], bei denen I11 durch 111" ? ( a b ) = (P(a) V(b) ? ( a + b ) 5 p(a) + p(b) ? ( a + b ) c max (v(a), P'(b))

co ( a + 6) 5 P (0 max (P (ah P (6))