自然流微積分 : 20世紀からの覚醒

✍ Scribed by 山﨑洋平

• Publisher: 現代数学社
• Year: 2019
• Tongue: Japanese
• Leaves: 252
• Category: Library

✦ Table of Contents

プロローグ
目次
第1章　極限と代入は違うのか？
1 . 「極限を求める」のにどうして変形が要るのか？
2. 「極限値」はどうやって思いつくのか？
3. 「極限を求める」とは「極限」を「求める」ことか？
4. 代入可能な形への変形…√　の解消
5. 一般的な代数関数の極限
6. 超越関数登場
第2章　超越関数の極限と代入
1. 対数関数と指数関数
2. sinθ/θ の極限…はさみうちの原理
3. sinθ/θ の極限も代入で
4. 「1変数の広義積分」が絡む極限
5. キメラの木目
6. 列で書いた極限値
第3章　関数の連続性
1. 極限と連続性
2. 2つの「連続性」
3. 「一様連続」と「各点連続」
4. 積分の「連続性」
5. 多変数関数の「連続性」
第4章　0次連続写像と逆写像・陰関数の準備
1. 0次連続写像
2. もう少し汎用な例
3. 逆写像が見つかる定番の例
4. 逆写像のお膳立て
第5章　0次同相埋め込みと逆写像
1. 0次同相埋め込み
2. 汎用な0次同相埋め込みをもう1つ
3. 前章からの積み残し例
4. 逆写像の定義域
第6章　1変数の微分
1. 平均変化率と導関数
2. 基本的な関数の平均変化率と導関数
3. 込み入った関数の導関数
4. 高次の平均変化率と高次の導関数
第7章　区間上の微分
1. 関数の多項式近似
2. 関数の増減
3. de L'Hospital の定理の周辺
4. 日常的な ∞/∞ 型極限
第8章　R線上の悪戯者(worrier)たち
1. 接ぎ目の軋み
2. 本質的に微分できない連続関数
3. 何回でも微分できる関数
4. ∞次連続関数こぼれ話
5. 定めなき世の定め
第9章　多変数の微分
1. 「xだけを変化」とは言うけど…
2. ∂u/∂x とは何だ？
3. 合成（代入）の偏平均変化率・偏微分
4. 浅き夢見じ
第10章　多変数の微分（続）
1. 繰り返し偏微分と連鎖公式
2. 逆写像と偏平均変化率・偏導関数
3. 多変数関数の多項式近似
4. 極値問題
5. 「正則関数」と偏微分
第11章　原始関数（不定積分）
1. 置換積分…対数関数と指数関数
2. 置換積分…その他の常套手段
3. 置換積分…2次式の√
4. 有理式の原始関数
5. 複素数を使うウラ技
第12章　原始関数の見つけ方
1. 部分積分も少々
2. logの無理性，超越性
3. 初等関数から逸脱する積分
4. Liouvilleの定理
5. Liouvilleの定理を実行する
第13章　度量と積分
1. 度量（広さ）
2. 度量の基本的な性質
3. 積分とその基本性質
4. 微分積分学の基本定理
第14章　稀薄なものの大きさ
1. 曲線の長さ
2. 1次連続なケース
3. 凸関数がなす曲線
4. 柱体の側面積…Schwarzの提灯
5. 蛇足
第15章　相対次元の度量
1. 長さ・面積から「相対次元の広さ」へ
2. 折れ線の近傍
3. 「長さ」とのすり合わせ
第16章　直積と次元の魔
1. 直積の度量の片鱗
2. 一般的な直積
3. 非整数次元
4. 正の面積をもつ曲線
第17章　切り口と積分
1. 断面が連続的に変形するとは (1)
2. 微妙な話
3. 断面が連続的に変形するとは (2)
第18章　多変数積分の変数変換
1. 変数変換
2. 定番の変数変換
3. あまり馴染みのない0次同相埋め込み
4. 積分値の実際
第19章　広義積分
1. いわゆる「(1変数の)広義積分」
2. 悪魔の囁き
3. 「1変数の広義積分」は1変数限定
4. 広義の度量と広義積分
5. 加法性，負値もとる関数
第20章　広義積分，その極限と累次積分
1. 有界でない集合の切り口
2. 広義積分と極限の関係
3. 納得しないユーザーのために
4. 広義積分に関する累次積分
5. 広義積分の総括
第21章　「1変数の広義積分」と極限の関係
1. 多変数版の圏外を散策
2. 「HUMAN」な設定
3. とらぬ狸
第22章　写像の度量と積分(有向版)
1. 境目のうちそとと有向度量
2. 有向度量と有向積分
3. 有向積分
第23章　写像の度量と積分(無向版)
1. 新しい方式の無向度量
2. 直積と懸垂写像における無向度量
3. 曲線と1次連続写像
4. まだまだ心配ない話
第24章　有向度量と有向積分…応用編
1. 基本定理
2. Gauss, Green, Stokesの定理
3. Gauss, Green, Stokesの定理の証明
4. 通常の教科書における Gauss, Green, Stokesの各定理
第25章　無向度量，その不都合な真実
1. 奇妙な曲線たち
2. 奇妙な0次同相写像とその「無向度量」
3. 姉妹編方式の泣き所……3次元の巻き付き写像
エピローグ
索引