✍ Scribed by 徐树方
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内 容 提 要
本书系统阐述了矩阵计算这门学科的基础理论、基本方法和近十几年来发展成熟
并得到了广泛应用的新成果.内容包括：矩阵知识的复习和补充，矩阵计算概论；求
解线性方程组的直接法和迭代法，线性最小二乘问题，共轭梯度法；求解特征值问题
的QR方法和同伦方法；Lanczos方法以及求解Jacobi矩阵特征值反问题的正交约
化方法等.
本书取材上，既注重基础理论的严谨性、方法的实用性，又保持了内容的新颖性，
反映了该学科的最新进展.本书内容自封，各章之间相对独立，可适用于不同读者的
需要.
本书可作为计算数学、应用数学等有关专业高年级大学生和研究生的教材或教学
参考书，也可供从事科学计算的数学工作者、工程技术人员和高校有关专业的高年级
大学生和教师参考，
《矩阵计算的理论与方法》
封面页
封底页
书名页
版权页
《北京大学数学丛书》 编委会
内容简介
前言
目录页
目录页1
目录页2
目录页3
目录页4
目录页5
正文
第一章 矩阵知识的复习和补充
§1 主要记号和定义
§2 Schur分解和奇异值分解
2．1 Schur分解
2．2 奇异值分解
§3 向量范数和矩阵范数
3．1 向量范数
3．2 矩阵范数
3．3 谱半径和矩阵序列的收敛性
§4 正交投影和子空间之间的距离
4．1 正交投影
4．2 子空间之间的距离
§5 非负矩阵
5．1 基本概念和性质
5．2 Perron-Frobenius定理
5．3 非负矩阵的谱
5．4 Birkhoff定理
§6 有关矩阵特征值的几个重要定理
6．1 一般方阵的Bauer-Fike定理
6．2 正规矩阵的Hoffman-Wielandt定理
6．3 Hermite矩阵的极小极大定理
习题
第二章 矩阵计算概论
§1 矩阵计算的基本问题和来源
1．1 基本问题
1．2 膜的、振动
1. 3 弹性系统的振动
1．4 多元线性回归分析
§2 病态问题和数值稳定性
2．1 矩阵计算问题的病态和良态
2．2 算法的数值稳定性
§3 矩阵计算的基本工具
3．1 Householder变换
3．2 Givens变换
3．3 Gauss变换
习题
第三章 线性方程组的直接解法
§1 线性方程组的条件数
§2 墓本解法的回顾
2．1 Gauss消去法
2．2 Cholcsky分解法
§3 对称不定方程组的解法
§4 Vandermonde方程组的解法
§5 Toeplitz方程组的解法
5．1 Yule-Walkcr方程组
5．2 一般右端项的Toeplitz方程组
5．3 Toeplitz矩阵的逆
§6 条件数的估计和迭代改进
6．1 条件数的估汁
6．2 迭代改进
习题
第四章 线性方程组的迭代解法
§1 迭代法概述
§2 基本迭代法
§3 正定矩阵和某些迭代法的收敛性
§4 H矩阵和某些迭代法的收敛性
§5 多项式加速
习题
第五章 共轭梯度法
§1 最速下降法
§2 二次泛函的几何性质
§3 共轭梯度法及其基本性质
§4 实用共轭梯度法及其收敛性
4．1 实用共轭梯度法
4．2 收敛性分析
§5 预优共轭梯度法
§6 不完全分解预优技巧
6．1 松弛不完全LU分解
6．2 松弛不完全Cholesky分解
6．3 分块不完全Cholesky分解
§7 求解非正定线性方程组的共轭梯度法
7．1 正规化方法
7．2 广义共轭剩余法
习题
第六章 最小二乘问题的数值解法
§1 最小二乘解的数学性质
1．1 最小二乘解的特征
1．2 最小二乘解的一般表示
1．3 最小二乘解的扰动分析
§2 求解满秩LS问题的数值方法
2．1 正规化方法
2．2 正交化方法
§3 求解亏秩LS问题的数值方法
8．1 列主元QR分解法
3．2 奇异值分解法
8．3 数值秩的定义和确定方法
§4 求解LS问题的迭代法
4．1 基于正规化方程组的古典迭代法
4．2 基于等价方程组的SOR和SSOR迭代法
§5 完全最小二乘问题
习题
第七章 求解特征值问题的QR方法
§1 特征值和不变子空间的条件数
1．1 特征值的条件数
1．2 不变予空间的条件数
§2 双重步位移的QR算法
2．1 QR算法的基本思想
2．2 实Schur标准形
2．3 上Hessenberg化
2．4 双重步位移的QR迭代
2．5 双重步位移的QR算法
§3 特征向量和不变子空间的计算
3．1 特征向量的计算
3．2 不变子空间的计算
§4 对称QR方法
§5 奇异值分解的计算
§6 分而治之法
6．1 分割
6．2 胶合
习题
第八章 求解实对称特征值问题的同伦方法
§1 同伦算法概述
§2 同伦的构造和性质
§3 同伦路径的数值追踪
3．1 预估
3．2 校正
3．3 核查
3．4 同伦算法
习题
第九章 Lanczos方法
§1 Lanczos迭代及其基本性质
§2 Kailiel-Paige-Saad理论
§3 Lanczos算法
§4 求解对称线性方程组的Lanczos方法
§5 求解非对称线性方程组的广义极小剩余法
习题
第十章程求解Jacobi矩阵特征值反问题的数值方法
§1 基本问题和定性理论
§2 数值方法
2．1 Lanczos方法
2．2 正交约化法
§3 相关问题
3．1 秩1修改问题
3．2 广对称Jacobi矩阵的特征值反问题
3．3 对角矩阵与秩1矩阵之和的特征值
习题
参考文献
索引
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