現代数学概説 I・II

✍ Scribed by 彌永昌吉, 小平邦彦; 河田敬義, 三村征雄

• Publisher: 岩波書店
• Year: 1961, 1965
• Tongue: Japanese
• Leaves: 1036
• Series: 現代数学 1・2
• Category: Library

✦ Table of Contents

現代数学概説 I (1961) 彌永・小平
はじめに
凡例
第1章　集合
§1 集合，部分集合，二つの集合の直積
例題1
例題2
例題3-5
例題6-7
例題8-9
§2 対応，写像，函数
例題1-2
例題3-4
例題5
例題6-8
例題9-13
例題14
定理1
例題15-18
§3 添数づけられた族，選出公理
例題1-2
例題3-5
定理2
例題6-8
例題9-10
定理3
§4 一般の直積，配置集合，巾集合
例題1-4
例題5-6
定理4
定理5
例題7
定理6
例題8-10
§5 被覆，直和分割
例題1-8
例題9-10
定理7
§6 関係，同値関係
例題1-4
例題5
定理8
例題6
定理9
例題7-10
例題11
定理10
例題12-14
§7 順序関係，順序集合
例題1-3
例題4-6
例題7-9
例題10-14
例題15-16
例題17-18
例題19-22
定理11
例題23
例題24-28
例題29-32
§8 帰納的極限，射影的極限
定理12
例題1
例題2-3
定理13
例題4-6
定理12'
例題7-10
§9 整列集合，Zornの補題
例題1-5
例題6
定理14
定理15 (整列集合の順序同型)
補題
補題の証明
補題の系
定理16 (整列集合の比較定理)
例題7-8
例題9
補題
例題10-11
定理17 (Zornの補題)
補題1
補題2
例題12-13
定理18 (Zornの補題の言い換え)
例題14
定理19 (Zermeloの整列定理)
§10 濃度
例題1
定理20
定理21 (二つの濃度についての比較定理)
例題2
例題3-5
補題1
補題2
補題3
定理22
例題6-7
定理23
定理24
例題8-9
例題10 (Cantor の対角線論法)
定理25
§11 順序数
例題1-2
例題3-4
定理26
定理27
例題5-7
例題8
定理28
例題9-10
例題11-14
定理29
例題15-20
§12 濃度と順序数
定理30
定理31
例題1
例題2-7
第2章　群
§1 一つの算法をもつ代数系
定理1
定理2
定理3 (一般交換法則)
例題1
例題2
例題3-4
定理4
例題5-7
例題8-11
例題12
定理5
例題13-16
例題17-18
§2 変換半群，可除元，可約元，可逆元
例題1
定理1'
例題2-4
定理6
定理7
例題5
例題6-8
定理8
定理9
例題9
例題10
定理10
例題11
§3 群およびそれに関連する概念
例題1-3
例題4-7
定理11
例題8
例題9-13
定理12
定理13
定理14
例題14-16
例題17-18
例題19
例題20
例題21-24
例題25
例題26-27
定理15
例題28-32
例題33
§4 置換群，等質空間
例題1
例題2
定理16
定理17
例題3-5
例題6-8
定理17'
定理18
例題9-12
§5 自由半群，自由群
定理19
定理20
例題1
定理21
例題2
定理22
例題3-5
注意1
例題6-9
注意2
注意3
例題10
§6 作用団をもつ群
例題1-3
定理14' (準同型定理)
第3章　環，体
§1 分配系
例題1-3
定理1
例題4-7
定理2
例題8-10
§2 環，多元環，整域，体
例題1-4
定理3
例題5
例題6-8
例題9-12
定理4
例題13-14
定理5
例題15-16
§3 自由多元環，多項式環
例題1-3
定理6
定理7
例題4-6
定理8
定理9
§4 有階多元環
例題1
定理10
例題2
§5 多項式環の性質
定理11
定理12
定理13
例題1
例題2-3
定理14
定理15
定理16
§6 体の構造(1)
例題1-2
例題3
例題4-5
定理17
定理18
定理19
補題1
補題2
補題3
定理20
補題1-2
系1-3
例題6
定理21
例題7-8
§7 体の構造(2)
例題1
定理22
補題1-2
定理23
例題2
例題3-4
§8 体の構造(3)
例題1
定理24
定理25
例題2-3
定理26
補題
定理26の証明
例題4-5
第4章　束
§1 束
例題1
定理1
例題2
例題3-5
定理2
定理3
定理4
系1-2
定理5
§2 完備束
注意1-2
例題1-4
定理6
例題5-6
定理7
例題7-8
§3 Boole代数，分配束
例題1-5
定理8
補題1
補題2
補題3
定理9
例題6-9
定理10
例題10-11
例題12-15
§4 Modular 束
例題1-2
定理11
定理12
定理13 (細分定理)
系1-2
定理14
例題4
§5 次元函数，独立性
例題1
例題2-3
定理15
例題4
定理16
定理17
定理17の証明
系1-2
定理18
例題5
定理19
例題6-8
例題9
§6 相補 modular 束と射影幾何学
定理20
補題1
補題2
定理21
補題3-5
補題6-8
補題9
補題10-12
定理22
補題13
補題14-15
定理23
第5章　代数系の一般論
§1 代数系
例題1-2
例題3
定理1
例題4-5
§2 自由代数系
定理2
§3 Category と functor
例題1
例題2-3
例題4
例題5-9
第6章　単位環の上の加群
§1 A－加群
例題1
定理1
例題2-3
例題4-7
定理2
例題8-9
例題10
§2 線形写像(1)―Functor Hom
例題1
例題2-4
例題5-6
例題7-9
例題10-13
例題14-15
例題16
定理3
例題17
例題18-21
§3 線形写像(2)―双対加群
定理4
定理5
例題1-2
§4 線形写像(3)―行列
定理6
例題1
例題2-6
定理7
例題7
定理8
§5 Tensor積(1)―Functor \otimes
定理9
定理10
例題1
例題2-7
例題8
定理11
定理12
例題10-11
定理9'
§6 Tensor 積(2)―Tensor 代数
定理13
§7 交代積，外積代数
定理14
定理15
注意1-2
例題1-3
定理16
§8 行列式
定理17
定理18
定理19
例題1
定理20
第7章　単項 ideal 環の上の加群
§1 単項 ideal 環における素因子分解，Gauss 環
例題1
例題2-3
定理1
補題1-2
補題3-4
定理2
定理3
補題1-2
定理3の証明
系1-3
§2 束縛加群の素成分分解
例題1-3
補題1-2
補題3
定理4
例題4
例題5
§3 自由加群の部分加群
定理5
定理6
補題1-2
定理6の証明
定理7
補題
定理7 の証明
§4 有限型加群
定理8
定理9
定理10
系1-2
定理11
§5 直既約分解，単因子
補題1
定理12
定理13
定理14
補題2
§6 行列の相似不変式
補題1
定理15
例題1-2
補題2
定理16
定理17
定理18
定理19
§7 固有値と固有多項式
定理20
系1-2
例題1
第8章　二次形式
§1 双一次形式
例題1-2
例題3
例題4
例題5
§2 二次形式
定理1
定理2
例題1-3
§3 直交群
例題1
例題2
定理3
例題3-5
定理4
補題1
補題2
§4 順序体と実体
例題1-2
例題3-5
定理5
系1 (Artin-Schreier)
例題6
系2
系3
定理6
定理7
§5 Hermite 形式
定理8
補題1
補題2
補題3
補題4
定理9
例題1-2
§6 Unitary 変換と unitary 行列
定理10
定理11
§7 正規変換と正規行列
定理12
例題1-3
§8 実閉体における行列の標準形
定理13
例題1-2
定理14
第9章　複体と homology
§1 複体とその functor
例題1
例題2
定理1
例題3-4
例題5
§2 射影的加群と単射的加群
定理2
例題1
例題2-3
定理3
補題1
例題4
補題2
定理3の証明
例題5-6
例題7
§3 射影的分解と単射的分解
定理4
定理4'
補題1
補題1'
定理5
定理5'
定理6
定理7
§4 導来 functor
定理8
定理8'
定理9
定理9'
定理10
補題
定理10'
§5 Functor Ext, Tor
定理11
定理11'
定理12
定理12'
例題1-3
例題4
例題5
例題6
例題7-8
例題9-10
§6 Künneth の関係
定理13
定理14
定理15
定理16
付録 I　位相
§1 位相空間
定理1
例題1
定理1'
定理2
例題2
定理2'
§2 位相の生成
例題1-3
例題4-5
§3 開写像，閉写像，連続写像
例題1-2
定理3
例題3
例題4-8
例題9-10
§4 連結性
例題1
例題2-3
定理4
定理5
定理6
定理7
例題4
定理8
例題5
§5 Compact 性
例題1-2
例題3-5
定理9
定理10
定理11
例題6-9
定理12
定理13
例題10-11
定理14
定理15
例題12-15
§6 位相代数系
定理16
例題1-4
付録 Il　数
§1 自然数，整数，有理数
定理1
定理2
定理3
定理4
定理5
補題1-2
定理6
定理7
例題1-2
定理8
例題3-5
例題6-9
定理9
定理10
例題10-12
例題13-17
例題18-19
定理11
例題20-22
定理12
§2 実数，複素数
例題1
定理13
補題1
補題2-5
定理13の証明
定理14
定理15
例題2-4
例題5-6
定理16
例題7-8
例題9
定理17
§3 距離空間
定理18
例題1-3
定理19
補題1-2
補題3
定理20
例題4-5
例題6-7
直積距離空間
例題8-9
あとがき
§4, p. 21
p. 75. W. Sierpinski の連続体仮説に関する研究
p. 95
p.120, 例題19, p. 121, 例題20
p. 208. Galoisの理論
p. 251. Veblen-Young の公理
p.261
p. 297, 15—16 行
p. 316, 例題11
p. 322
p. 383, §7
p.452, 上から8行目
索引
現代数学概説 II (1965) 河田・三村
はしがき
凡例
諸記号
前篇　位相
第1章　集合
§1 集合
補題I
補題II (de Morganの公式)
§2 写像
補題I
補題II
補題III
補題IV
§3 関係
補題I
補題II
補題III
§4 順序
R_I-III
R_IV (Dedekindの公理)
R_IV' (Weierstrassの公理)
定理4.1 (Archimedesの性質)
定理4.2 (有理数の稠密性)
Zermeloの選出公理
Cantorの整列公理
Zornの公理
定理4.3
第2章　距離空間 I
§5 距離空間
§6 近傍と開集合
定理6.1
定理6.2
孤立点・集積点
収束する
極限点
準距離（または擬距離）
密着準距離空間（または単に密着空間）
§7 連続写像
定理7.1
定理7.2
等距離写像
定理7.3
定理7.4
例題7.2 (連続函数の拡張定理)
§8 コンパクト集合
定理8.1 (Weierstrassの定理)
定理8.2 (Heine-Borelの定理)
定理8.3
定理8.4
定理8.5
定理8.6
定理8.7
Lebesgue数
第3章　距離空間 II
§9 一様連続性
定理9.1
定理9.2
一様位相的性質
定理9.3 コンパクト距離空間は完備である
定理9.4
定理9.5
定理9.6
完備拡大
定理9.7
§10 ノルム空間
定理10.1
Hölder の不等式
Minkowskiの不等式
Hilbert空間 (l^(2) 空間)
定理10.2
定理10.3
定理10.4
例題10.4 (Diniの定理)
定理10.5 (Ascoli-Arzelà の定理)
定理10.6 (Stone-Weierstrassの定理)
第4章　位相空間
§11 位相
定理11.1
定理11.2
第1可算公理
定理11.3
Kuratowski の公理系
定理11.4
§12 連続写像
定理12.1
定理12.2
開写像（または閉写像）
定理12.3
定理12.4
位相的性質
定理12.5
定理12.6
定理12.7
定理12.8
§13 誘導された位相
定理13.1
定理13.2
誘導された位相
定理13.3
位相同型写像
第5章　稠密性と連結性
§14 稠密性
自己稠密集合
孤立集合
完全集合
縁集合
定理14.1
定理14.2
定理14.3
定理14.4
§15 連結性
定理15.1
定理15.2
定理15.3
定理15.4
定理15.5
第6章　分離条件
§16 分離条件
定理16.1
第2分離公理
定理16.2
定理16.3
定理16.4
定理16.5
定理16.6
定理16.7
§17 正規空間
定理17.1
定理17.2
定理17.3 (Urysohnの拡張定理)
定理17.4
1の分解
定理17.5
§18 埋蔵問題と距離付け問題
定理18.1
定理18.2 (Urysohnの距離付け定理)
§19 いろいろな位相空間の例
第7章　コンパクト性
§20 コンパクト空間
定理20.1
定理20.2 (Tychonoff の定理)
定理20.3
定理20.4
定理20.5
定理20.6
定理20.7
定理20.8
定理20.9
定理20.10 (Čech)
§21 局所コンパクト空間
定理21.1
定理21.2
定理21.3 (Alexandroff)
定理21.4
定理21.5
定理21.7
第8章　収束
§22 有向点族
有向点族
極限点
定理22.1
定理22.2
定理22.3
定理22.4
§23 収束空間
定理23.1
定理23.2
第9章　一様位相空間
§24 一様空間
一様空間
定理24.1
準距離族空間
§25 一様被覆族
一様被覆族
定理25.1
定理25.2
§26 一様位相
定理26.1
定理26.2
定理26.3
定理26.4
定理26.5
§27 完備性
基本有向点族
定理27.1
定理27.2
定理27.3
定理27.4
定理27.5
§28 写像空間
定理28.1
定理28.2
注意　族について
参考文献
後篇　測度
第1章　測度
§1 有限加法的集合族
定義1.1
定理1.1
定義1.2
定理1.3
定理1.4
§2 集合列とその極限
定理2.1
定理2.2
定理2.3
定理2.4
§3 加法的集合族の生成
定理3.1
§4 Jordan の測度
定理4.1
定理4.2
§5 測度の定義
定義5.1
定理5.1
定理5.2
定義5.2
定理5.3
定理5.4
定理5.5
定理5.6
定理5.7
定理5.8
§6 零集合
定理6.1
定理6.2
定理6.3
§7 Lebesgue の外測度
§8 外測度とそれによる測度の定義
定義8.1
定義8.2
定理8.1
§9 Lebesgue の測度
定理9.1
定理9.2
定理9.3
定理9.4
定理9.5
定理9.6
§10 Lebesgue-Stieltjes の測度
定理10.1
定理10.2
定理10.3
定理10.4
§11 正則な測度と内測度
定義11.1
定理11.1
定理11.2
定理11.3
定理11.4
定理11.5
定理11.6
定理11.7
定理11.8
定理11.9
§12 Lebesgue の意味で可測でない集合
定理12.1
定理12.2
定理12.3
定理12.4
定理12.5
§13 測度論の代数化について
定理13.1
第2章　可測函数
§14 函数とその原像集合
定理14.1
§15 可測函数の定義
定義15.1
定理15.1
定理15.2
定理15.3
定義15.2
定理15.4
定理15.5
定理15.6
定義15.3
定理15.7
§16 可測函数の極限
定理16.1
定理16.2
定理16.3
§17 可測函数の四則と合成函数
定理17.1
定理17.2
定理17.3
定理17.4
定理17.5
§18 同値な可測函数
定理18.1
定理18.2-18.6
定理18.7 (Egoroff の定理)
§19 漸近収束
定理19.1
定理19.2-19.3
第3章　積分
§20 積分の定義
定義20.1
定義20.2
定義20.3-20.4
定理20.1-20.2
§21 積分の性質 (I)
定理21.1-21.3
定理21.4
定理21.5
定理21.6-21.7
定理21.8-21.11
定理21.12
§22 積分の性質 (II)
定理22.1
定理22.2
定理22.3
定理22.4
定理22.5 (Fatouの定理)
定理22.6
定理22.7
定理22.8
定理22.9
§23 Riemann 積分と Lebesgue 積分
定理23.1
定理23.2
定理23.3 (Riemannの定理)
定理23.4-23.5
§24 Lebesgue-Stieltjes 積分
定理24.1
定理24.2
定理24.3 (Vitali-Carathéodoryの定理)
第4章　完全加法的集合函数と不定積分
§25 完全加法的集合函数
定義25.1
定理25.1-25.4
§26 Jordan 分解
定義26.1
定理26.1
定理26.2-26.3
定義26.2
定理26.4-26.5
定理26.6
§27 Hahn 分解
定理27.1
§28 絶対連続性と特異性
定義28.1
定理28.1-28.2
定義28.2
定理28.3
定理28.4
定理28.5
定理28.6
§29 Lebesgue分解
定理29.1-29.2
定理29.3
§30 Radon-Nikodym の定理
定理30.1 (Radon-Nikodymの定理)
§31 広義の測度に関する積分
定理31.1
定理31.2-31.3
定理31.4-31.5
定理31.6
§32 集合函数の微分係数
定義32.1
定義32.2
§33 Vitaliの被覆定理
定理33.1
§34 σ-加法的集合函数の微分
定理34.1
定理34.2
定理34.3
定理34.4-34.5
定理34.6-34.7
§35 加法的区間函数
定理35.1-35.2
定理35.3
定理35.4
定理35.5
定理35.6-35.7
§36 R^1の区間函数と1変数の函数
定理36.1-36.4
定理36.5-36.6
連続な部分，純不連続な部分
第5章　積空間の測度と Fubini の定理
§37 積空間とその σ-加法系
定理37.1
定義37.1
定理37.2
定理37.3
定理37.4
§38 積測度
定理38.1
定理38.2
定理38.3
定理38.4
§39 Fubini の定理
定理39.1
定理39.2-39.3
§40 縦線集合とその測度
定理40.1-40.2
定理40.3
定理40.4-40.5
§41 無限積空間とその測度
補題1
定理41.1
第6章　函数空間
§42 空間 L_p と空間 M
定義42.1
定理42.1-42.2
定義42.2
定理42.3
定義42.3
定義42.4
定理42.4
定理42.5
定理42.6
§43 L_p, M の共役空間
定理43.1
定理43.2
定理43.3
定理43.4
§44 連続函数の空間
定理44.1
定理44.2
定理44.3
定理44.4-44.5
定理44.6-44.7
参考文献
索引