✍ Scribed by 邱曙熙
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分析（数学）是研究分析运算——代数运算和极限运算之综合——的数学学科，换言之，分析结构是代数结构和拓扑结构的综合。
本书是供数学专业人员阅读的。考虑到作为研究生教材，显然此书无法在一学期内授完，因而教师可以按具体情况对教材进行取舍。
本书具有如下特点：一是起点低，适当介绍一些本科知识，以保持逻辑的完整性，并且为专业基础程度不齐的学员提供方便；二是尽可能保持各章节的相对独立性（这样难免发生个别概念在不同地方出现的现象），以便教材的取舍；三是介绍一些略为专门化的知识以供参考；四是对有些在国内一般的数学书籍中较少系统见到的知识进行详细论述，以供查阅。
本书是作者在为厦门大学数学系研究生多年来讲授《现代分析》课程的基础上编写而成的。编者在授课过程中深深体会到厦门大学数学系老一辈教授在分析学科方面有着较深的造诣。
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引言
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目录
第一章 公理化集论
§1 集的古典定义及其缺陷
1. 集的古典定义——G. Cantor定义
2. 集的例子·正整数
3. Russell悖论
§2 公理集论
1. ZFC公理系统
2. 映射·集的表示
3. 子集·差集·幂集公理
4. 并集公理·交集·笛卡尔集·叠集
5. 序数
5.1. 关系·次序
5.2. 序数的概念
5.3. 正整数·超限序数·超限归纳法
5.4. 选择公理·良序原则
5.5. 序数算术
6. 基数
6.1. 有限基数·超限基数
6.2. 基数算术
6.3. 连续统假设
7. 集合论公理系统的缺陷
习题
§3 实数
1. 整数
2. 有理数
3. 实数·无理数·超越数
4. 实数之有理区间套的定义
4.1. 等价有理区间套就是实数
4.2. 实数的四则运算
4.3. 实数的全序性
4.4. 有理数定义的合理性
习题
第二章 拓扑空间与连续函数
§1 一般拓扑
1. 开集·闭集
2. 闭包·边界
3. Baire范畴集
4. 收敛性·点网和滤子
5. 连续映射的概念
6. 收敛概念定义的拓扑
7. 商空间
8. 乘积拓扑空间
9. 连通空间·弧连通空间
10. 紧致空间
11. 拓扑空间的分离性
12. 拓扑空间的可数性和可分性
13. 局部紧致Hausdorff空间
13.1. 紧致Hausdorff空间
13.2. 局部紧致Hausdorff空间的性质
13.3. Urysohn引理和Tietze延拓定理
13.4. Gδ型集和Fσ型集
习题
§2 度量空间与半度量空间
1. (半)度量空间的概念和基本性质
2. 度量空间的某些性质
3. 有界映射族的一致收敛拓扑
4. 半度量空间的某些性质
5. 拓扑空间的度量化
习题
§3 连续函数与半连续函数
1. 连续映射与弱拓扑
2. 连续函数与拓扑空间的紧致化
3. 上下极限
4. 半连续函数的概念及其等价命题
5. 半连续函数的运算
6. 半连续函数的性质
7. 函数的半连续正则化
§4 流形
1. 基本要领
2. 单位分解
2.1. 单位分解的存在性
2.2. 半连续函数的逼近定理和隔离性定理的证明
3. Riemann曲面
3.1. Riemann曲面的概念
3.2. 镶边Riemann曲面的概念
3.3. Riemann曲面的亏格
3.4. 解析映照
3.5. 共变量
3.6. Dirichlet积分
第三章 线性代数
§1 基本代数系统和线性空间
1. 二面运算
2. 群·环·域
3. 线性空间的概念
4. 线性组合
5. 总和简写惯例·无限方阵
6. 线性独立·基底
7. 基底变换·无限方阵的逆方阵
8. 向量分量的逆变性
9. 直接和
习题
§2 线性变换
1. 基本概念
2. 线性变换的表示法和矩阵
3. 线性变换与基底变换的关系
4. 横假无限矩阵的法式
5. 矩阵的秩
6. Hom(X,Y)的维数
§3 内积空间及其正交基底
1. 内积空间的概念
2. 内积空间的正交基底
3. 正交和·正交投影
4. U方阵·正交方阵
5. 顺变分量·线性独立条件
6. 有限维内积空间的伴随基底
习题
§4 内积空间的自线性变换
1. 自线性变换的概念
2. 正常变换·谱分解
3. U变换·实正交变换
4. 自伴随变换·共轭对称方阵
5. 反自伴随变换·反共轭对称方阵
6. Cayley变换
§5 切空间和变形运动
1. 切空间的概念
2. 坐标变换和切空间的基底变换
3. 欧氏空间的切空间里的内积
4. 变形运动
5. 无穷小线性变换和应变
6. 应力
7. 方阵的指数函数
第四章 测度与泛函
§1 可测空间与可加集函数
1. 环和体
2. 可加集函数
3. 复测度的概念
§2 抽象测度和积分
1. 可取∞值的测度
2. Carathéodory外测度与测度的延拓
3. 可测函数
3.1. 可测函数的概念
3.2. 可测函数列
3.3. 几乎处处收敛
4. 正则测度·正规测度·Lusin定理
5. 抽象Lebesgue积分
习题
§3 线性赋范空间
1. 线性赋范空间及其上的连续线性算子
2. L^p空间
2.1. 几个重要的积分不等式
2.2. L^p空间的定义
2.3. 复可测函数空间F·依测度收敛
2.4. 空间L^p和的完备性及可分性
3. Hilbert空间中的泛函表现定理
4. Hahn-Banach泛函延拓定理
5. Radon-Nikodym定理
6. 自反空间
7. 弱收敛
8. 开映像原理·共鸣定理·闭图像定理
习题
§4 测度与泛函的积分表示
1. 复测度的极表示
2. 紧致度量空间上的集函数和Riesz表现定理
3. Radon测度的概念
4. 正线性泛函
5. 正线性泛函在下半连续函数族里的延拓
6. 正线性泛函导出的外测度
7. 正线性泛函导出的外测度的内正则性
8. 正线性泛函导出的Radon测度
9. 正线性泛函关于Radon测度的积分表示
习题
第五章 广义函数
§1 拓扑线性空间
1. 吸收集·平衡集·凸集
2. 拓扑线性空间
3. 半范与Minkowski泛函
4. 局部凸拓扑线性空间
5. 可度量化与赋范化
6. 函数空间C^m(Ω)与C^∞(Ω)的拓扑
7. 诱导极限拓扑
8. 函数空间C_C^m(Ω)与C_C^∞(Ω)的拓扑
习题
§2 广义函数的概念和基本性质
1. 局部可积函数
2. 广义函数空间D'(Ω)
2.1. 基本空间D(Ω)与D'(Ω)广义函烽
2.2. 广义函数与局部可积函数、测度的关系
3. D'(Ω)广义函数运算
3.1. D'(Ω)广义函数的导数
3.2. D'(Ω)广义函数的原函数
3.3. D'(Ω)广义函数的极限
4. 广义函数空间E'(Ω)
5. 广义函数空间S'
5.1. 急减函数基本空间S'
5.2. 缓增广义函数空间S'
6. 三类广义函数空间的关系
6.1. 基本空间的嵌入关系
6.2. 广义函数空间的嵌入关系
6.3. D'(Ω)广义函数的支集
习题
§3 广义函数的卷积
1. D'(Ω)广义函数的直积
2. 广义函数的卷积
习题
§4 广义函数的Fourier变换
1. 可积函数的Fourier变换
2. S函数的Fourier变换
3. 缓增广义函数的Fourier变换
习题
§5 Sobolev空间
1. 空间W^{m·p}(Ω)
2. 空间H^{m·p}(Ω)
3. 嵌入定理
习题
参考文献
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