现代偏微分方程导论

✍ Scribed by 陈恕行

• Publisher: 科学出版社
• Year: 2005
• Tongue: Chinese
• Leaves: 203
• Edition: 1
• Category: Library

✦ Synopsis

《现代偏微分方程导论》主要讲述偏微分方程的一般理论，广义函数与sob01ev空间，椭圆边值问题，能量方法，算子半群等内容，为提高读者的整体数学素质提供了必要的材料，也为部分读者进一步学习与研究偏微分方程理论做了准备。偏微分方程是数学学科的一个重要分支，它与其他数学分支均有广泛的联系，而且在自然科学与工程技术中有广泛的应用。

✦ Table of Contents

第1章 广义函数与 Sobolv 空间
1.1 广义函数的基本概念、基本空间
1. 引言
2. 基本空间C∞(R^n)，C∞_c(R^n)
3. 函数的正则化、平均算子
4. 基本空间S(R^n)
习题
1.2 广义函数及其运算
1. D'(R^n)，S'(R^n)，E'(R^n) 广义函数
1. 广义函数的支集
2. 广义函数的极限
3. 广义函数的导数
4. 广义函数的乘子
5. 广义函数的自变量变换
6. 广义函数的卷积
习题
1.3 Fourier变换
1. S(R^n)空间上的Fourier变换
2. S'(R^n)空间上的Fourier变换
3. 紧支集广义函数的 Fourier 变换
4. 拟微分算子
习题
1.4 Sobolev空间
1. 非负整指数Sobolev空间H^{m,p}
2. 负整指数Sobolev空间
3. 实指数Sobolev空间
4. H^m(Ω)函数的延拓
5. 微分流形上的Sobolev空间
1.5 嵌入定理、迹定理
1. 嵌入定理
2. 紧嵌入定理
3. 迹定理
习题
第2章 偏微分方程的一般理论
2.1 一般概念、特征与分类
1. 偏微分方程的一般概念
2. 特征
3. 偏微分方程的分类
习题
2.2 存在性定理
1. Cauchy-Kowalevskaya 定理
2. Cauchy-Kowalevskaya 定理的证明
3. 初始资料给在一般曲面上的情形
4. Lewy 反例
习题
2.3 唯一性与稳定性
1. Holmgren 定理
2. Holmgren 定理的应用
3. 稳定性
习题
2.4 基本解
1. 基本解的概念
2. 偏微分方程的基本解
3. Cauchy 问题的基本解
4. 基本解在解的正则性研究中的应用
习题
第3章 椭圆型方程
3.1 椭圆型方程边值问题的广义解
1. Dirichlet 问题的广义解
2. 第二、第三类边值问题的广义解
习题
3.2 椭圆型方程边值问题的可解性
1. 先验估计
2. 算子-L+λ的可逆性
3. 两择性定理
4. 特征值问题
习题
3.3 解的正则性
1. 差商算子及其性质
2. 半空间上椭圆型方程的 Dirichlet 问题
3. 一般区域的情形
4. 内正则性定理
习题
3.4 高阶椭圆型方程
1. 高阶椭圆型方程的定义
2. 先验估计
3. 两择性定理与正则性定理
习题
第4章 双曲型方程
4.1 能量不等式、解的唯一性和稳定性
1. 二阶双曲型方程的定解问题
2. 初边值问题的能量不等式
3. Cauchy 问题的能量不等式
习题
4.2 Cauchy问题解的存在性
1. 高阶能量不等式
2. 解析逼近法
习题
4.3 初边值问题解的存在性
1. 取值于 Banach 空间的函数
2. Galekin 方法
3. 唯一性的证明
4. 附注
习题
4.4 对称双曲组
1. 对称双曲组及其 Cauchy 问题
2. 对称双曲组 Cauchy 问题的能量不等式
3. 初边值问题的能量不等式
4.5 正对称方程组*
1. 正对称方程组
2. 强解与弱解
3. 强解的唯一性与弱解的存在性
4. 强解与弱解的一致性
习题
第5章 抛物型方程与算子半群方法
5.1 抛物型方程及其能量不等式
1. 抛物型方程的定解问题
2. 能量不等式
3. 用 Galekin 方法解初边值问题
习题
5.2 算子半群与无穷小生成元
1. 算子半群方法的基本思想
2. 无穷小生成元
3. 线性压缩算子半群的存在性与唯一性
4. 一般线性算子半群的情形
习题
5.3 算子半群方法的应用
1. 增生算子
2. 对抛物型方程初边值问题的应用
3. 对双曲型方程初边值问题的应用
习题
参考文献
《大学数学科学丛书》已出版书目