✍ Scribed by 江辉有
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《研究生数学系列规划教材:拓扑学》是一本拓扑学的基础教材，全书分成三十二讲，内容包括三个部分：点集拓扑学部分、代数拓扑学部分和拓扑群部分，重点放在前两部分。前十三讲属于点集拓扑学部分，主要讲点集拓扑学的基本概念，连续映射与同胚，拓扑空间的几种常见运算（如积空间、商空间等）以及主要的拓扑性质（如分离性、可数性、紧性、连通性等），并简要地介绍了曲面分类、函数空间和网与滤子的基本知识；第十四至二十九讲属于代数拓扑学部分，主要讲基本群、复叠空间、单纯同调群及相关的基本知识及其经典的应用；最后三讲属于拓扑群部分，主要介绍一些基本概念。《研究生数学系列规划教材:拓扑学》内容丰富（有意识地编入了许多资料性的内容），结构严谨，叙述深入浅出，定理证明详尽明白。为便于理解，还配备了相当数量的图形、大量的例题和书后习题。
《研究生数学系列规划教材:拓扑学》可作为综合性大学数学系和师范院校高年级本科生的教学用书，也可以作为非拓扑学专业的数学系研究生学位课的教材，对于其他数学工作者而言，也是一本好用的拓扑学参考资料。
封面
版权
符号说明
编者序言
目录
引言
第一部分 点集拓扑学
第一讲 预备知识
1.1 集合代数与关系
1.2 函数与等价关系
1.3 序关系与选择公理
1.4 集合的可数性
1.5* 基数简介
习题1
第二讲 拓扑空间的基本概念
2.1 拓扑空间的定义
2.2 度量拓扑
2.3 拓扑空间的几个基本概念
2.4 子空间
习题2
第三讲 拓扑空间之间的连续映射与同胚
3.1 连续映射的定义
3.2 连续映射的性质
3.3 同胚映射
3.4 嵌入与嵌入映射
习题3
第四讲 拓扑基与Tychonoff积空间
4.1 拓扑基与子基
4.2 乘积空间
习题4
第五讲 分离性公理与可数性公理
5.1 分离性公理
5.2 可数性公理
5.3 拓扑性质的可遗传性与可数性
习题5
第六讲 Uryshon引理及其应用
6.1 Uryshon引理
6.2 Tietze扩张引理
6.3 Uryshon度量化定理
习题6
第七讲 拓扑空间的紧致性与列紧性
7.1 紧致与列紧的定理
7.2 列紧空间的性质
7.3 紧致空间的性质
习题7
第八讲 局部紧性与仿紧性
8.1 局部紧性
8.2 仿紧性(Paracompactness)
习题8
第九讲 连通性与道路连通性
9.1 连通性的定义及例子
9.2 连通空间的性质
9.3 连通分支
9.4 局部连通性
9.5 道路及其运算
9.6 道路连通空间
9.7 道路连通分支
9.8 局部道路连通
习题9
第十讲 商空间与商映射
10.1 商空间
10.2 拓扑锥
10.3 贴空间
10.4 映射柱与映射锥
10.5 商映射
10.6 几个例子
习题10
第十一讲 闭曲面及其分类
11.1 拓扑流形的概念
11.2 闭曲面
11.3 两类闭曲面
11.4 闭曲面分类定理
习题11
第十二讲 点网、滤子与收敛性概念的过账
12.1 点网
12.2 滤子
习题12
第十三讲 函数空间
13.1 点态收敛拓扑
13.2 R^X上的一致收敛拓扑
13.3 紧开拓扑
13.4 k-空间与Ascoli定理
习题13
第二部分 代数拓扑学
第十四讲 映射的同伦与基本群的定义
14.1 映射的同伦
14.2 道路类的逆与乘积
14.3 道路类的运算性质
14.4 空间的基本群(fundamental group)的定义
14.5 连续映射诱导的基本群同态
14.6 基本群与基点的关系
习题14
第十五讲 球面S^n的基本群
15.1 S^1的基本群
15.2 n⩾2时S^n是单连通的
15.3 T^2的基本群
习题15
第十六讲 基本群的同伦不变性
16.1 同伦的映射所诱导的基本群的同态之间的关系
16.2 拓扑空间的同伦等价(Homotopy equivalent)
16.3 形变收缩核
16.4 可缩空间
习题16
第十七讲 基本群的计算
17.1 Seifert-Van Kampen定理
17.2 Seifert-Van Kampen定理应用举例
17.3 轨道空间与基本群
习题17
第十八讲 基本群的若干应用
18.1 闭曲面分类定理证明的完成
18.2 Brouwer不动点定理2维情形的证明
18.3 代数基本定理的证明
18.4 曲面的边界问题
18.5 纽结群的Wirtinger表示
18.6 平面的分离问题
习题18
第十九讲 复叠空间及其基本性质
19.1 复叠映射与复叠空间
19.2 映射的提升问题
19.3 复叠空间的基本群
19.4 复叠空间的分类
习题19
第二十讲 复叠空间与正则复叠空间
20.1 复叠变换
20.2 正则复叠空间
20.3 泛复叠空间
20.4 四元数简介
习题20
第二十一讲 单纯复形的同调群
21.1 单纯形
21.2 单纯复(合)形
21.3 多面体与可剖分空间
21.4 承载单形
21.5 单形的定向
21.6 链群
21.7 边缘同态
21.8 同调群
习题21
第二十二讲 同调群的简单性质、G系数同调群
22.1 同调群的简单性质
22.2 0-维同调群
22.3 1-维同调群与基本群的关系
22.4 Euler-Poincare公式
22.5 以交换群G为系数群的同调群
习题22
第二十三讲 同调群的基本计算
习题23
第二十四讲 单纯映射与单纯逼近
24.1 单纯映射
24.2 单纯映射诱导的同调群的同态
24.3 单纯逼近
24.4 重心重分(barycentric subdivision)
24.5 单纯逼近存在定理
习题24
第二十五讲 连续映射诱导的同调群同态
25.1 链复形、链映射和链同伦
25.2 同调群的重分不变性
25.3 诱导同调f_{·q}的定义
25.4 多面体与可剖分空间的同调群
习题25
第二十六讲 同调群的同伦不变性
26.1 同调群的同伦不变性
26.2 同调群计算再举例
习题26
第二十七讲 Mayer-Vietoris同调空间
27.1 简约同调群
27.2 相对同调群
27.3 同调代数的基本知识，正合同调序列
27.4 Mayer-Vietoris同调序列
习题27
第二十八讲 球面自映射的映射度及其应用
28.1 球面自映射的映射度的定义和性质
28.2 对径映射的映射度及其应用
28.3 保径映射的映射度
28.4 Borsuk-Ulam定理
习题28
第二十九讲 Lefschetz不动点定理
29.1 代数准备
29.2 有限复形K的迹数
29.3 可剖分空间的Lefschetz数
习题29
第三部分 拓扑群基础
第三十讲 拓扑群的基本概念与基本性质
30.1 拓扑群的概念
30.2 拓扑群的性质
习题30
第三十一讲 拓扑群的子群、商群与拓扑变换群
31.1 拓扑群的子群
31.2 拓扑群的商群
31.3 拓扑变换群
习题31
第三十二讲 拓扑群的可乘性、分离性、连通性与逆极限
32.1 拓扑群的积
32.2 拓扑群的分离性
32.3 拓扑群的连通性
32.4 逆极限
习题32
索引
参考文献
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<p>《拓扑学》是在北京师范大学数学科学学院多次使用的《拓扑学讲义》的基础上编写而成的。适合于数学系本科生拓扑学的教学。全书分为六章，前四章可大致归类于点集拓扑，后两章属于代数拓扑初步。编写过程中我们参考了尤承业的《基础拓扑学》，M.A.Armstrong的《基础拓扑学》，J.R.Munkres的《拓扑学》，余玄冰等人的《拓扑学》，王敬庚的《直观拓扑》等书。编写《拓扑学》的一个指导思想是力求在保持本课程基本内容的系统性与完整性的基础上，为学生打开一扇通往现代数学的窗口。</p>
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