托马斯大学微积分

✍ Scribed by George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel R. Hass

• Publisher: 机械工业出版社
• Year: 2009
• Tongue: Chinese
• Leaves: 880
• Series: 华章数学译丛
• Category: Library

✦ Synopsis

《托马斯大学微积分》是受到广泛赞誉的《托马斯微积分》的精编版本．这个精编版本根据当今大学微积分课程的目标取舍主题，浓缩题材，使其更适于教学和学习。同时，《托马斯大学微积分》继承和发扬原著的优点：坚持准确性和严谨性，突出应用，强调练习和技能训练，融入现代化技术手段，并且保持良好的可读性。

《托马斯大学微积分》前半部分讨论一元函数的微积分，其中包含对函数的复习；后半部分论述多元函数的微积分。

《托马斯大学微积分》适合作为高等院校理工科本科课程教材或教学参考书，同时也可作为科学技术人员的自学用书。

✦ Table of Contents

《托马斯大学微积分》
封面页
书名页
版权页
译者序
前言
目录页
目录页1
目录页2
目录页3
目录页4
目录页5
目录页6
目录页7
目录页8
目录页9
正文
第1章 函数
1. 1 函数及其图形
1.1.1 函数，定义域与值域
1.1.2 函数的图形
1.1.3 用数值表示函数
1.1.4 分段定义的函数
1.1.5 垂直线检验法
1.1.6 函数类型
1.1.7 增函数与减函数
1.1.8 偶函数与奇函数:函数的对称性
习题 1.1
1.2 函数组合及移动图形与改变图形标度
1.2.1 函数的和,差,积及商
1.2.2 复合函数
1.2.3 移动函数图形
1.2.4 改变函数图形标度与反射函数图形
1.2.5 椭圆
习题 1.2
1.3 三角函数
1.3.1 角
1.3.2 6 个基本三角函数
1.3.3 三角函数的周期性和图形
1.3.4 三角恒等式
1.3.5 余弦定理
1.3.6 三角函数图形的变换
习题 1.3
1.4 指数函数
1.4.1 指数的性质
1.4.2 自然指数函数eˉx
1.4.3 指数增长与指数衰减
习题 1.4
1.5 反函数与对数函数
1.5.1 一对一函数
1.5.2 反函数
1.5.3 求反函数
1.5.4 对数函数
1.5.5 对数函数的性质
1.5.6 对数函数的应用
1.5.7 反三角函数
1.5.8 反正弦函数与反余弦函数
习题 1.5
1.6 用计算器和计算机作图
习题 1.6
第2章 极限与连续性
2.1 曲率的变化率和切线
2.1.1 平均速率和瞬时速率
2.1.2 平均变化率与割线
2.1.3 曲率的斜率
2.1.4 瞬时变化率
习题 2.1
2.2 函数的极限和极限法则
2.2.1 函数值的极限
2.2.2 极限法则
2.2.3 用代数方法消去零分母
2.2.4 用计算器和计算机估计极限
2.2.5 夹层定理
习题 2.2
2.3 极限的精确定义
2.3.1 极限的定义
2.3.2 例子:检验极限定义
2.3.3 用代数方法求给定 ε 的 δ
2.3.4 用极限定义证明定理
习题 2.3
2.4 单侧极限与在无穷大的极限
2.4.1 单侧极限
2.4.2 单侧极限的精确定义
2.4.3 包含 (sinθ)/θ 的极限
2.4.4 当 x→±∞ 时的有限极限
2.4.5 有理函数在无穷大的极限
2.4.6 水平渐近线
2.4.7 再讨论夹层定理
2.4.8 斜渐近线
习题 2.4
2.5 无穷极限与垂直渐近线
2.5.1 无穷极限
2.5.2 无穷极限的精确定义
2.5.3 垂直渐近线
习题 2.5
2.6 连续性
2.6.1 在一点的连续性
2.6.2 连续函数
2.6.3 反函数与连续性
2.6.4 复合函数
2.6.5 对一点的连续延拓
2.6.6 连续函数的介质定理
习题 2.6
2.7 在一点的切线和导数
2.7.1 在一点的切线和导数
2.7.2 变化率:在一点的导数
2.7.3 小结
习题 2.7
第2章复习指导问题
第2章实习习题
第2章补充和提高习题
第3章 微分法
3.1 把导数作为一种函数
3.1.1 从定义求导数
3.1.2 记号
3.1.3 描绘导数的图形
3.1.4 在区间上的可微函数和单侧导数
3.1.5 什么情况下函数在一点没有导数
3.1.6 可微函数是连续的
3.1.7 导数的介质性质
习题 3.1
3.2 多项式,指数函数及函数积与商求导数法则
3.2.1 幂函数,倍数函数及函数和与差的导数
3.2.2 指数函数的导数
3.2.3 函数的积和商的导数
3.2.4 二阶导数与高阶导数
习题 3.2
3.3 把导数作为一种变化率
3.3.1 瞬时变化率
3.3.2 沿直线运动的位移,速度,速率,加速度和冲击
3.3.3 经济学中的导数
习题 3.3
3.4 三角函数的导数
3.4.1 正弦函数的导数
3.4.2 余弦函数的导数
3.4.3 简谐运动
3.4.4 其它基本三角函数的导数
习题 3.4
3.5 链式法则与参数方程
3.5.1 复合函数的导数
3.5.2 "外函数-内函数"法则
3.5.3 重复应用链式法则
3.5.4 函数幂的链式法则
3.5.5 参数方程
3.5.6 参数化曲线的斜率
习题 3.5
3.6 隐式微分法
3.6.1 隐式定义的函数
3.6.2 透镜,切线和法线
3.6.3 高阶导数
习题 3.6
3.7 反函数与对数函数的导数
3.7.1 可微函数反函数的导数
3.7.2 反函数的参数表示
3.7.3 自然对数函数的导数
3.7.4 aˉu 和 logau 的导数
3.7.5 对数微分法
3.7.6 幂法则(一般形式)的证明
3.7.7 数 e 的极限表示
习题 3.7
3.8 反三角函数
3.8.1 tan x,cot x,sec x 和 csc x 的反函数
3.8.2 y=sinˉ(-1)u 的导数
3.8.3 y=tanˉ(-1)u 的导数
3.8.4 y=secˉ(-1)u 的导数
3.8.5 其他 3 个反三角函数的导数
习题 3.8
3.9 相关变化率
习题 3.9
3.10 线性化与微分
3.10.1 线性化
3.10.2 微分
3.10.3 用微分作估计
3.10.4 微分逼近中的误差
3.10.5 链式法则的证明
3.10.6 变化的灵敏度
习题 3.10
3.11 双曲函数
3.11.1 定义与恒等式
3.11.2 双曲函数的导数
3.11.3 反双曲函数
3.11.4 有用的恒等式
3.11.5 反双曲函数的导数
习题 3.11
第3章复习指导问题
第3章实习习题
第3章补充和提高习题
第4章 导数的应用
4.1 函数的极值
4.1.1 局部(相对)极值
4.1.2 求极值
习题 4.1
4.2 中值定理
4.2.1 罗尔定理
4.2.2 中值定理
4.2.3 物理解释
4.2.4 数学推论
4.2.5 由加速度求速度和位置
4.2.6 对数法则的证明
4.2.7 指数法则
习题 4.2
4.3 单调函数与一阶导数检验法
4.3.1 增函数与减函数
4.3.2 局部极值的一阶导数检验法
习题 4.3
4.4 凹性与曲线绘图
4.4.1 凹性
4.4.2 拐点
4.4.3 局部极值二阶导数检验法
4.4.4 来源于导数的函数图形特性
习题 4.4
4.5 实用的最优化
4.5.1 商业和工业中的例子
4.5.2 数学和物理学中的例子
4.5.3 经济学中的例子
习题 4.5
4.6 不定式和洛必达法则
4.6.1 不定式 0/0
4.6.2 不定式 ∞/∞,∞·0 和 ∞-∞
4.6.3 不定幂
4.6.4 洛必达法则的证明
习题 4.6
4.7 牛顿法
4.7.1 牛顿法的步骤
4.7.2 应用牛顿法
4.7.3 逼近的收敛性
习题 4.7
4.8 反导法
4.8.1 求反导数
4.8.2 初值问题与微分方程
4.8.3 反导数与运动
4.8.4 不定积分
习题 4.8
第4章复习指导问题
第4章实习习题
第4章补充和提高习题
第5章 积分法
5.1 用有限和作估计
5.1.1 面积
5.1.2 物体的移动距离
5.1.3 物体的为移和移动距离
5.1.4 非负函数的平均值
5.1.5 小结
习题 5.1
5.2 有限和的 ∑ 记号和极限
5.2.1 有限和与 ∑ 记号
5.2.2 有限和的极限
5.2.3 黎曼和
习题 5.2
5.3 定积分
5.3.1 定积分
5.3.2 定积分的记号和存在性
5.3.3 可积函数与不可积函数
5.3.4 定积分的性质
5.3.5 非负函数图形下方的面积
5.3.6 再讨论连续函数的平均值
习题 5.3
5.4 微积分基本定理
5.4.1 定积分的中值定理
5.4.2 基本定理第1 部分
5.4.3 基本定理第2 部分(求值定)
5.4.4 总面积
习题 5.4
5.5 不定积分与代换法则
5.5.1 代换:反向运用链式法则
5.5.2 sinˉ2x和 cosˉ2x 的积分
习题 5.5
5.6 代换与曲线之间的面积
5.6.1 代换公式
5.6.2 对称函数的定积分
5.6.3 曲线之间的面积
5.6.4 对于 y 积分
习题 5.6
5.7 把对数函数定义为积分
5.7.1 自然对数函数的定义
5.7.2 y=lnｘ的导数
5.7.3 lnｘ的图形和值域
5.7.4 积分∫(1/u)du
5.7.5 lnｘ的反函数与数 e
5.7.6 eˉx 的导数和积分
5.7.7 指数函数的法则
5.7.8 一般指数函数 aˉx
5.7.9 以 a 为底的对数函数
5.7.10 涉及 logax 的导数和积分
5.7.11 小结
习题 5.7
第5章复习指导问题
第5章实习习题
第5章补充和提高习题
第6章 定积分的应用
6.1 通过绕轴切片和旋转定义体积
6.1.1 旋转体:圆盘方法
6.1.2 旋转体:垫圈方法
习题 6.1
6.2 用圆柱壳定义体积
习题 6.2
6.3 平面曲线的长度
6.3.1 平面曲线的长度
6.3.2 曲线 y=f(x) 的长度
6.3.3 处理 dy/dx 的不连续点
6.3.4 短微分公式
习题 6.3
6.4 旋转曲面的面积
6.4.1 定义曲面面积
6.4.2 绕 y 轴旋转
6.4.3 参数化曲线
习题 6.4
6.5 指数变化与可分离微分方程
6.5.1 指数变化
6.5.2 可分离微分方程
6.5.3 无限制的种群增长
6.5.4 放射性衰变
6.5.5 热传递:牛顿冷却定理
习题 6.5
6.6 功
6.6.1 由恒力作的功
6.6.2 由可变力沿直线作的功
6.6.3 弹簧的虎克定率:F=kx
6.6.4 从容器抽出液体
习题 6.6
6.7 矩与质心
6.7.1 沿直线分布的质量
6.7.2 在平面区域上分布的质量
6.7.3 薄平板
6.7.4 形心
习题 6.7
第6章复习指导问题
第6章实习习题
第6章补充和提高习题
第7章 积分方法
7.1 分部积分法
7.1.1 积分型积法则
7.1.2 分部求定积分
习题 7.1
7.2 三角积分
7.2.1 正弦函数和余弦函数乘方之积的积分
7.2.2 消去平方根
7.2.3 tanｘ和 sec x 乘方的积分
7.2.4 正弦函数和余弦函数之积的积分
习题 7.2
7.3 三角代换
习题 7.3
7.4 有理函数分部分式积分法
习题 7.4
7.5 积分表与计算机代数系统
7.5.1 积分表
7.5.2 归约公式
7.5.3 用 CAS 求积分
7.5.4 非初等积分
习题 7.5
7.6 数值积分
7.6.1 梯形逼近
7.6.2 辛普森法则:用抛物线逼近
7.6.3 误差分析
习题 7.6
7.7 反常积分
7.7.1 无穷积分限
7.7.2 积分 ∫dx/xˉp
7.7.3 带垂直渐近线的被积函数
7.7.4 收敛与发散检验法
习题 7.7
第7章复习指导问题
第7章实习习题
第7章补充和提高习题
第8章 无穷序列与无穷级数
8.1 序列
8.1.1 收敛性与发散性
8.1.2 求序列的极限
8.1.3 用洛必达法则求极限
8.1.4 常见的序列极限
8.1.5 序列的递归定义
习题 8.1
8.2 无穷级数
8.2.1 等比级数
8.2.2 发散级数
8.2.3 发散性第 n 项检验法
8.2.4 组合级数
8.2.5 增添项或删除项
8.2.6 改变下标
习题 8.2
8.3 积分检验法
8.3.1 非减部分和
8.3.2 积分检验法
8.3.3 误差估计
习题 8.3
8.4 比较检验法
8.4.1 比较检验法
8.4.2 极限比较检验法
习题 8.4
8.5 比率检验法与根检验法
8.5.1 比率检验法
8.5.2 根检验法
习题 8.5
8.6 交错级数,绝对收敛与条件收敛
8.6.1 绝对收敛与条件收敛
8.6.2 级数重排
习题 8.6
8.7 幂级数
8.7.1 幂级数与收敛性
8.7.2 幂级数的收敛半径
8.7.3 逐项微分
8.7.4 逐项积分
8.7.5 幂级数的乘法
习题 8.7
8.8 泰勒级数与麦克劳林级数
8.8.1 级数表示法
8.8.2 泰勒级数与麦克劳林级数
8.8.3 泰勒多项式
习题 8.8
8.9 泰勒级数的收敛性
8.9.1 余式估计
8.9.2 应用泰勒级数
8.9.3 欧拉恒等式
8.9.4 泰勒定理的证明
习题 8.9
9.10 二项式级数
8.10.1 幂和根的二项式级数
8.10.2 常用级数
习题 8.10
第8章复习指导问题
第8章实习习题
第8章补充和提高习题
第9章 极坐标与圆锥曲线
9.1 极坐标
9.1.1 极坐标的定义
9.1.2 极方程与图形
9.1.3 极坐标与笛卡尔坐标的关系
习题 9.1
9.2 在极坐标中作图
9.2.1 对称性
9.2.2 斜率
9.2.3 作图的方法
习题 9.2
9.3 极坐标中面积和长度
9.3.1 平面区域的面积
9.3.2 极曲线的长度
习题 9.3
9.4 圆锥曲线
9.4.1 抛物线
9.4.2 椭圆
9.4.3 双曲线
习题 9.4
9.5 极坐标中的圆锥曲线
9.5.1 离心率
9.5.2 极方程
9.5.3 直线
9.5.4 圆
习题 9.5
9.6 圆锥曲线与参数方程,摆线
9.6.1 抛物线与双曲线
9.6.2 摆线
9.6.3 捷线与等时线
习题 9.6
第9章复习指导问题
第9章实习习题
第9章补充和提高习题
第10章 向量与空间几何学
10.1 三维坐标系
10.1.1 空间中的笛卡尔坐标系
10.1.2 空间中的距离和球面
习题 10.1
10.2 向量
10.2.1 分量形式
10.2.2 向量的代数运算
10.2.3 单位向量
10.2.4 线段的中点
习题 10.2
10.3 点积
10.3.1 向量之间的角
10.3.2 垂直(正交)向量
10.3.3 点积性质与向量投影
10.3.4 功
习题 10.3
10.4 向量积
10.4.1 空间中两个向量的向量积
10.4.2 |u×v| 是一个平行四边形的面积
10.4.3 u×v 的行列式公式
10.4.4 转矩
10.4.5 三重纯量积或框积
习题 10.4
10.5 空间中的直线和平面
10.5.1 空间中的直线和线段
10.5.2 空间中从点到直线的距离
10.5.3 空间中平面的方程
10.5.4 平面的交线
10.5.5 从点到平面的距离
10.5.6 平面之间的角
习题 10.5
10.6 柱面与二次曲面
10.6.1 柱面
10.6.2 二次曲面
习题 10.6
第10章复习指导问题
第10章实习习题
第10章补充和提高习题
第11章 空间中的向量值函数和物体的运动
11.1 向量函数及其导数
11.1.1 极限与连续性
11.1.2 导数与运动
11.1.3 微分法则
11.1.4 定长向量的向量函数
习题 11.1
11.2 向量函数的积分
11.2.1 向量函数的积分
11.2.2 理想抛物运动的向量方程和参数方程
习题 11.2
11.3 空间中的弧长
11.3.1 沿空间曲线的弧长
11.3.2 质点沿光滑曲线运动的速率
11.3.3 单位切向量 T
习题 11.3
11.4 曲线的曲率
11.4.1 平面曲线的曲率
11.4.2 平面曲线的曲率圆
11.4.3 空间曲线的曲率和法向量
习题 11.4
11.5 加速度的切分量和法分量
11.5.1 TNB 标架
11.5.2 加速度的切分量和法分量
11.5.3 挠率
11.5.4 计分公式
习题 11.5
11.6 极坐标中的速度和加速度
11.6.1 极坐标和柱面坐标中的运动
11.6.2 行星的平面运动
11.6.3 开普勒第一定律(椭圆定律)
11.6.4 开普勒第二定律(等面积定律)
11.6.5 开普勒第三定律(时间距离定律)
习题 11.6
第11章复习指导问题
第11章实习习题
第11章补充和提高习题
第12章 偏导数
12.1 多元函数
12.1.1 定义域与值域
12.1.2 二元函数
12.1.3 二元函数的图形,层曲线和等值曲线
12.1.4 三元函数
12.1.5 计算机绘图
习题 12.1
12.2 高维空间中函数的极限和连续性
12.2.1 极限
12.2.2 连续性
12.2.3 多于两个变量的函数
12.2.4 闭有界集上的连续性函数的极限
习题 12.2
12.3 偏导数
12.3.1 二元函数的偏导数
12.3.2 偏导数的求法
12.3.3 多于两个变量的函数
12.3.4 偏导数与连续性
12.3.5 二阶偏导数
12.3.6 混合导数定理
12.3.7 更高阶的偏导数
12.3.18 可微性
习题 12.3
12.4 链式法则
12.4.1 二元函数
12.4.2 三元函数
12.4.3 在曲面上定义的函数
12.4.4 再讨论隐式微分法
12.4.5 多元函数
习题 12.4
12.5 方向导数与梯度向量
12.5.1 平面内的方向导数
12.5.2 方向导数的物理解释
12.5.3 方向导数的求法与梯度
12.5.4 梯度与层曲线的切线
12.5.5 三元函数
习题 12.5
12.6 切平面与微分
12.6.1 切平面与法线
12.6.2 估计函数在特定方向的改变
12.6.3 二元函数如何线性化
12.6.4 微分
12.6.5 多于两个变量的函数
习题 12.6
12.7 极值与鞍点
12.7.1 局部极值导数检验法
12.7.2 有界闭区域上函数的绝对极大值和绝对极小值
习题 12.7
12.8 拉格朗日乘数
12.8.1 受约束极大值和极小值
12.8.2 拉格朗日乘数法
12.8.3 受双重约束的拉格朗日乘数
习题 12.8
12.9 二元函数的泰勒公式
12.9.1 二阶导数检验法的推导
12.9.2 线性逼近的误差公式
12.9.3 二元函数的泰勒公式
习题 12.9
第12章复习指导问题
第12章实习习题
第12章补充和提高习题
第13章 多重积分
13.1 矩形区域上的二重积分和累次积分
13.1.1 二重积分
13.1.2 二重积分作为体积
13.1.3 求二重积分的傅比尼定理
习题 13.1
13.2 一般区域上的二重积分
13.2.1 有界非矩形区域上的二重积分
13.2.2 体积
13.2.3 求积分限
13.2.4 二重积分的性质
习题 13.2
13.3 用二重积分求面积
13.3.1 平面内有界区域的面积
13.3.2 平均值
习题 13.3
13.4 极型二重积分
13.4.1 极坐标中的积分
13.4.2 求积分限
13.4.3 变换笛卡尔坐标积分为极坐标积分
习题 13.4
13.5 直角坐标中的三重积分
13.5.1 三重积分
13.5.2 空间区域的体积
13.5.3 求积分限
13.5.4 空间中函数的平均值
13.5.5 三重积分的性质
习题 13.5
13.6 矩与质心
13.6.1 质量与一阶矩
13.6.2 惯性矩
习题 13.6
13.7 柱面坐标和球面坐标中的三重积分
13.7.1 柱面坐标中的积分
13.7.2 如何求柱面坐标中的积分
13.7.3 球面坐标与积分
13.7.4 如何求球面坐标中的积分
习题 13.7
13.8 多重积分内的代换
13.8.1 二重积分内的代换
13.8.2 三重积分内的代换
习题 13.8
第13章复习指导问题
第13章实习习题
第13章补充和提高习题
第14章 向量场中的积分
14.1 线积分
14.1.1 可加性
14.1.2 质量和矩的计算公式
习题 14.1
14.2 向量场,功,环流和通量
14.2.1 向量场
14.2.2 梯度场
14.2.3 力沿空降曲线作的功
14.2.4 速度场的流量积分和环流
14.2.5 穿过平面曲线的通量
习题 14.2
14.3 路径独立性,势函数和守恒场
14.3.1 路径独立性
14.3.2 关于曲线,向量场和定义域的假定
14.3.3 守恒场中的线积分
14.3.4 求守恒场中的势函数
14.3.5 恰当微分形式
习题 14.3
14.4 平面内的格林定理
14.4.1 散度
14.4.2 绕轴旋转:旋度的 k 分量
14.4.3 格林定理的两种形式
14.4.4 利用格林定理求线积分
14.4.5 对特殊区域的格林定理的证明
习题 14.4
14.5 曲面与面积
14.5.1 曲面的参数表示
14.5.2 曲面面积
14.5.3 隐式曲面
习题 14.5
14.6 面积分与通量
14.6.1 面积分
14.6.2 定向
14.6.3 关于通量的面积分
14.6.4 薄壳的矩和质量
习题 14.6
14.7 斯托克斯定理
14.7.1 斯托克斯定理
14.7.2 以叶片轮解释 ◇×F
14.7.3 对多曲面的斯托克斯定理的证明
14.7.4 带空洞曲面的斯托克斯定理
14.7.5 一个重要恒等式
14.7.6 守恒场与斯托克斯定理
习题 14.7
14.8 散度定理与统一理论
14.8.1 三维向量场中的散度
14.8.2 散度定理
14.8.3 对特殊区域的散度定理的证明
14.8.4 其他区域的散度定理
14.8.5 高斯定理:电磁理论四大定理之一
14.8.6 流体动力学的连续性方程
14.8.7 统一不同积分定理
习题 14.8
第14章复习指导问题
第14章实习习题
第14章补充和提高习题
附录 A
A.1 实数与实线
A.1.1 实数
A.1.2 区间
A.1.3 求解不等式
A.1.4 绝对值
A.2 数学归纳法
A.2.1 数学归纳法原理
A.2.2 从其它整数开始
A.3 直线,圆和抛物线
A.3.1 平面内的笛卡儿坐标
A.3.2 增量与直线
A.3.3 平行直线与垂直直线
A.3.4 平面内的距离和圆
A.3.5 抛物线
A.4 三角公式
A.4.1 三角函数
A.4.2 三角公式
A.5 极限定里的证明
A.6 常见的极限
A.7 实数理论
A.8 向量积的分配律
A.9 混合导数定理与增量定理
附录 B
B.1 基本代数公式
B.2 几何公式
B.3 积分简表
B.4 级数
B.5 向量运算符公式(笛卡儿坐标形式)
B.6 极限
B.7 微分法则
B.8 积分法则
华章数学译丛
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