多様体の基礎

✍ Scribed by 松本幸夫

• Publisher: 東京大学出版会
• Year: 1988
• Tongue: Japanese
• Leaves: 351
• Series: 基礎数学 5
• Category: Library

✦ Synopsis

版を重ね続けるロングセラー・テキスト

※初版1988年、2019年5月時点で31刷

多様体は、現代数学の中心的な概念のひとつである。本書は初めて多様体を学ぶ人のためになるべくわかりやすく記述するという立場を貫き、扱う題材も基礎的なものに絞ってていねいに解説した。応用をめざす人にとってもさらに高度な理論をめざす人にとっても好適。

【本書「まえがき」より】
多様体は、現代数学の中心的な概念のひとつである。多様体のなるべくわかり易い教科書を書いてみたいという動機から、著者はこの本を書いた。扱かっている題材はすべて基礎的なことばかりである。`丁寧な説明を'と心がけているうちに、この本は意外に厚くなってしまった。しかし、この厚さから想像されるほど盛りだくさんの内容を含んではいない。

読者としては、大学2、3年級の学生を念頭に置いた。予備知識として線型代数の初歩(ベクトル空間や線型写像の定義、行列と行列式の定義、簡単な性質)と多変数の微積分(偏微分と重積分について少しずつ)、それに、位相空間の初歩的知識があれば十分である。しかし、これらの概念に不慣れな読者でも、かなりの部分は読めるのではないか、と思っている。

【主要目次】
まえがき

第1章 準備
§1 多様体とは
§2 m次元数空間
§3 ベクトル空間
§4 連続写像とCʳ級写像
§5 位相空間

第2章 Cʳ級多様体とCʳ級写像
§6 多様体の定義
§7 Cˢ級関数とCˢ級写像

第3章 接ベクトル空間
§8 接ベクトル空間
§9 Cʳ級写像の微分
§10 写像の局所的性質
§11 射影空間

第4章 はめ込みと埋め込み
§12 はめ込みと埋め込み
§13 埋め込み定理
§14 1の分割
§15 正則点と臨界点

第5章 ベクトル場
§16 ベクトル場
§17 積分曲線

第6章 微分形式
§18 1次微分形式
§19 k次微分形式
§20 外微分とストークスの定理

付録A Dₚʳ (M)とTₚ (M)の関係
付録B 射影平面P²がR³に埋め込めないことの証明
演習問題解答

✦ Table of Contents

まえがき
目次
第1章　準備
§1 多様体とは
§2 m次元数空間
§3 ベクトル空間
§4 連続写像と C^r 級写像
§5 位相空間
第2章　Cr級多様体とCr級写像
§6 多様体の定義
§7 C^s 級関数と C^s 級写像
第2章の補足
第3章　接ベクトル空間
§8 接ベクトル空間
§9 C^r 級写像の微分
§10 写像の局所的性質
§11 射影空間
第3章の補足
第4章　はめ込みと埋め込み
§12 はめ込みと埋め込み
§12の補足1
§12の補足2 ハウスドルフ空間の中の点列の収束
§13 埋め込み定理
§14 1の分割
§14の補足．σ コンパクトな位相多様体の任意の開集合は σ コンパクトである．
§15 正則点と臨界点
§15の補足　命題15.5の証明
第5章　ベクトル場
§16 ベクトル場
§17 積分曲線
§17の補足1 リー微分
§17の補足2 定理 17.9 の証明
第6章　微分形式
§18 1次微分形式
§19 k次微分形式
§20 外微分とストークスの定理
§20の補足：定理20.2の証明
付録A　D_p^r (M) と T_p(M) の関係（§8参照）
付録B　射影平面P2がR3に埋め込めないことの証明（§11参照）
演習問題解答
§2~§4
§5
§6~§7
§8~§9
§10
§11~§12
§13
§14~§15
§16~§17
§18~§19
§20
参考文献
索引
奥付