函数论与泛函分析初步

✍ Scribed by A.H.柯尔莫戈洛夫

• Publisher: 高等教育出版社
• Year: 2006
• Tongue: Chinese
• Leaves: 471
• Series: 俄罗斯数学教材选译
• Category: Library

✦ Table of Contents

书名页......Page 2
版权页......Page 3
序......Page 4
第7版序......Page 6
第2版序......Page 8
第4版序......Page 9
第6版序......Page 10
基本符号表......Page 12
目录页1......Page 14
目录页2......Page 15
目录页3......Page 16
目录页4......Page 17
目录页5......Page 18
目录页6......Page 19
2. 集上的运算......Page 20
1. 集的映射......Page 22
2. 分类.等价关系......Page 24
1. 有限集与无限集......Page 26
2. 可数集......Page 27
3. 集的对等性......Page 28
4. 实数集的不可数性......Page 30
6. 集的势的概念......Page 31
1. 偏序集......Page 33
3. 序型.有序集......Page 34
5. 良序集.超限数......Page 35
6. 序数的比较......Page 36
7. 选择公理.策梅罗定理与其等价的其他命题......Page 38
8. 超限归纳法......Page 39
1. 集环......Page 40
2. 集半环......Page 41
3. 半环生成的环......Page 42
4. σ 代数......Page 43
5. 集族与映射......Page 44
1. 定义与基本例子......Page 45
2. 度量空间的的连续映射.等距......Page 51
1. 极限点.闭包......Page 52
2. 收敛性......Page 53
4. 开集与闭集......Page 54
5. 直线上的开集与闭集......Page 55
1. 完备度量空间的定义与例子......Page 59
2. 球套定理......Page 61
4. 空间的完备化......Page 62
1. 压缩映射原理......Page 64
2. 压缩映射原理最简单的一些应用......Page 65
3. 微分方程的存在性与唯一性定理......Page 68
4. 压缩映射原理应用于积分方程......Page 70
1. 拓扑空间的定义与例子......Page 72
3. 确定邻域簇.基.可数性公理......Page 74
5. 连续映射.同胚......Page 77
6. 分离性公理......Page 79
7. 在空间中给定拓扑的不同方法.可度量性......Page 81
1. 紧性概念......Page 82
3. 在紧性空间上的连续函数与半连续函数......Page 84
4. 可数紧性......Page 86
1. 完全有界性......Page 87
2. 紧性与完全有界性......Page 89
4. 阿尔采拉定理......Page 90
5. 佩亚诺定理......Page 92
7. 拓广的阿尔采拉定理......Page 94
§8. 度量空间中的连续曲线......Page 95
1. 线性空间的定义与例子......Page 100
2. 线性相关性......Page 102
4. 商空间......Page 103
5. 线性泛函......Page 104
6. 线性泛函的几何意义......Page 106
1. 凸集与凸体......Page 107
2. 齐次凸泛函......Page 109
3. 闵可夫斯基泛函......Page 110
4. 哈恩―巴拿赫定理......Page 112
5. 线性空间中凸集的可分离性......Page 115
1. 赋范空间的定义与例子......Page 116
3. 赋范空间的商空间......Page 118
1. 欧几里得空间的定义......Page 120
2. 例子......Page 121
3. 正交基的存在性.正交化......Page 123
4. 贝塞尔不等式.封闭正交系......Page 125
5. 完备的欧几里得空间.里斯费希尔定理......Page 128
6. 希尔伯特空间.同构定理......Page 130
7. 子空间.正交补.直和......Page 133
8. 欧几里得空间的特性......Page 136
9. 复欧几里得空间......Page 138
1. 定义与例子......Page 141
3. 可数赋范空间......Page 143
1. 线性拓扑空间中的线性连续泛函......Page 146
2. 赋范空间上的线性泛函......Page 147
3. 赋范空间中的哈恩-巴拿赫定理......Page 150
4. 在可数赋范空间中的线性泛函......Page 152
2. 共轭空间中的强拓扑......Page 153
3. 共轭空间的例子......Page 155
4. 二次共轭空间......Page 160
1. 在线性拓扑空间中的弱拓扑与弱收敛......Page 162
2. 赋范空间中的弱收敛......Page 163
3. 共轭空间中的弱拓扑与弱收敛......Page 166
4. 共轭空间中的有界集......Page 167
1. 函数概念的推广......Page 170
2. 基本函数空间......Page 171
3. 广义函数......Page 172
4. 广义函数的运算......Page 173
5. 基本函数范围的充足性......Page 175
6. 按导数求函数.广义函数类中的微分方程......Page 176
7. 某些推广......Page 178
1. 线性算子的定义与例......Page 181
2. 连续性与有界性......Page 184
3. 算子的和与积......Page 186
4. 逆算子,可逆性......Page 187
5. 共轭算子......Page 192
6. 欧几里得空间中的共轭算子.自共轭算子......Page 194
7. 算子的谱.预解式......Page 195
1. 紧算子的定义与例......Page 197
2. 紧算子的基本性质......Page 201
3. 紧算子的特征值......Page 203
4. 希尔伯特空间中的紧算子......Page 204
5. H 中的自共轭紧算子......Page 205
1. 初等集的测度......Page 209
2. 平面集的勒贝格测度......Page 213
3. 若干补充与推广......Page 219
1. 测度的定义......Page 221
2. 从半环到其所生成的环的测度扩张......Page 222
3. σ 加性......Page 224
1. 给定在一个含有单位集的半环上的测度的勒贝格扩张......Page 227
2. 给定在不含有单位集的半环上的测度扩张......Page 229
3. 在σ 有限测度的情形下可测性概念的扩充......Page 231
4. 按约当意义的测度扩张......Page 233
5. 测度扩张的单值性......Page 235
1. 可测函数的定义与基本性质......Page 236
2. 可测函数的运算......Page 237
3. 等价性......Page 239
5. 叶果洛夫定理......Page 240
6. 按测度收敛......Page 241
§5. 勒贝格积分......Page 244
2. 简单函数的勒贝格积分......Page 245
3. 具有有限测度的集上的勒贝格积分的一般定义......Page 247
4. σ 加性和勒贝格积分的绝对连续性......Page 249
5. 勒贝格积分号下取极限......Page 253
6. 无穷测度集上的勒贝格积分......Page 256
7. 勒贝格积分与黎曼积分之比较......Page 257
1. 集族的乘积......Page 260
2. 测度积......Page 261
3. 用截线的线性测度之积分表示平面测度之表达式.勒贝格积分的几何意义......Page 263
4. 富比尼定理......Page 266
第六章 勒贝格不定积分，微分论......Page 269
1. 单调函数的基本性质......Page 270
2. 单调函数的可微性......Page 272
3. 积分对上限求导数......Page 278
§2. 有界变差函数......Page 279
§3. 勒贝格不定积分的导数......Page 283
§4. 用函数的导数求原函数.绝对连续函数......Page 285
1. 荷.哈恩分解和约当分解......Page 293
2. 荷的基本类型......Page 295
3. 绝对连续荷.拉东―尼柯迪姆定理......Page 296
1. 斯蒂尔切斯测度......Page 298
2. 勒贝格―斯蒂尔切斯积分......Page 300
3. 勒贝格―斯蒂尔切斯积分在概率论中的某些应用......Page 301
4. 黎曼―斯蒂尔切斯积分......Page 303
5. 斯蒂尔切斯积分号下取极限......Page 306
6. 连续函数空间中线性连续泛函的一般形式......Page 308
1. 空间 L1 的定义与基本性质......Page 313
2. L1 中处处稠密的集合......Page 315
1. 定义与基本性质......Page 318
2. 无穷测度的情形......Page 320
3. 在 L查 中处处稠密的集合.同构定理......Page 322
5. 均方收敛及它与其他类型的泛函序列收敛性的联系......Page 323
1. 三角函数系.傅里叶三角级数......Page 325
2. 在闭区间[0,π]上的三角函数系......Page 327
3. 复形式的傅里叶级数......Page 328
4. 勒让德多项式......Page 329
5. 乘积正交系.多重傅里叶级数......Page 331
6. 关于给定权正交的多项式......Page 333
7. 空间 L2(-∞,∞)与 L2(0,∞)中的正交基......Page 334
8. 关于离散权的正交多项式......Page 335
9. 哈尔系与拉德马赫-沃尔什系......Page 337
1. 傅里叶级数在一点收敛的充分条件......Page 340
2. 傅里叶级数一致收敛的条件......Page 345
1. 费耶定理......Page 347
2. 三角函数系的完备性......Page 350
1. 基本原理......Page 351
2. 复形式的傅里叶积分......Page 353
1. 傅里叶变换与反演公式......Page 354
2. 傅里叶变换的基本性质......Page 357
3. 埃尔米特函数与拉盖尔函数的完备性......Page 359
4. 快速下降无穷次可微函数的傅里叶变换......Page 360
5. 傅里叶变换与函数的卷积......Page 361
6. 用傅里叶变换解热传导方程......Page 362
7. 多元函数的傅里叶变换......Page 363
1. 布兰舍列尔定理......Page 366
2. 埃尔米特函数......Page 368
1. 拉普拉斯变换的定义与基本性质......Page 371
2. 拉普拉斯变换对解微分方程的应用(算子法)......Page 372
1. 傅里叶-斯蒂尔切斯变换的定义......Page 373
2. 傅里叶-斯蒂尔切斯变换在概率论中的应用......Page 375
§8. 广义函数的傅里叶变换......Page 377
1. 积分方程的类型......Page 380
2. 导致积分方程的问题的一些例子......Page 381
1.弗雷德霍姆积分算子......Page 383
2. 含对称核的方程......Page 386
3. 弗雷德霍姆定理.退化核情形......Page 387
4. 含任意核的方程的弗雷德霍姆定理......Page 389
6. 第一类积分方程......Page 393
1. H 里紧算子的谱......Page 394
2. 以 λ 的幂级数形式求解.弗雷德霍姆行列式......Page 395
1. 强微分(弗雷歇微分)......Page 400
3. 有限增量公式......Page 402
4. 弱可微性与强可微性之间的关系......Page 403
6. 抽象函数......Page 404
7. 积分......Page 405
8. 高阶导数......Page 406
10. 泰勒公式......Page 409
1. 隐函数定理......Page 410
2. 微分方程解对初始数据的依赖性定理......Page 413
3. 切流形.刘斯切尔尼克定理......Page 414
1. 极值的必要条件......Page 416
2. 二阶微分.泛函极值的充分条件......Page 420
3. 有约束的极值问题......Page 422
§4. 牛顿(Newton)法......Page 423
1. 巴拿赫代数.巴拿赫代数的同构......Page 428
2. 巴拿赫代数的一写例子......Page 429
§2. 谱和预解式......Page 431
2. 谱的性质......Page 432
3. 谱半径定理......Page 434
1. 商代数定理......Page 435
1. 线性连续可乘泛函与极大理想......Page 436
2. 集.M 中的拓扑.基本定理......Page 438
3. 维纳定理.习题......Page 440
文献......Page 444
各章的有关文献......Page 448
索引......Page 449
译者后记......Page 470