代数幾何学入門 : 代数学の基礎を出発点として

✍ Scribed by 永井保成

• Publisher: 森北出版
• Year: 2021
• Tongue: Japanese
• Leaves: 319
• Category: Library

✦ Synopsis

現代数学の華々しい分野として位置づけられている代数幾何学。しかし本格的に学ぼうとすると、膨大な量の理論を身に着ける必要があり、初学者が学習を進めていくのはハードルが高い分野でもあります。

本書は、学部レベルの代数学の知識だけを出発点として、代数幾何学を学ぶ入門書です。具体的な計算が数多く取り上げられており、幾何学的なイメージを膨らましながら読むことができます。また、代数幾何学で用いられる「代数学的なテクニック」がなぜ必要になるのかが懇切丁寧に説明されており、理論の流れが理解しやすいように配慮されています。

「『アティマク』や『ハーツホーン』を読まないと、代数幾何学は勉強できない」――そんな「神話」を覆す、画期的な入門書の誕生。

「代数幾何学という分野の存在を知り,その入口に立っている学部学生が,基礎的なトレーニングの傍ら,代数幾何学の面白さを知り,なぜさまざまの代数学的なテクニックが必要とされるのかを知るための「レパートリーブック」のようなものとして,著者は本書を企図したといえば伝わるだろうか.つまり,代数幾何学の分野ではどんな問題に興味がもたれ,どのような方法でそれらが解決されているのかについて,技術的な習熟を仮定せずになるべく「生きた」話題を提供しようと試みている」(「.はじめに」より)

【目次】
第1講 平面曲線と特異点
1.1平面曲線
1.2平面曲線の特異点

第2講 形式的ベキ級数環
2.1 1変数形式的ベキ級数環
2.2多変数の形式的ベキ級数環
2.3平面曲線の接錐

第3講 ブローアップ
3.1一般の体k上の平面曲線
3.2射影直線
3.3アフィン平面のブローアップ
3.4全変換と狭義変換
3.5ブローアップの繰り返し

第4講 Weierstrass多項式
4.1平面曲線の摂動
4.2 Weierstrassの準備定理
4.3形式的ベキ級数環のUFD性

第5講 平面曲線の特異点解
5.1最大接触度
5.2平面曲線の特異点解消定理

第6講 アフィン代数多様体と座標環
6.1アフィン代数多様体
6.2座標環
6.3接平面と特異点

第7講 加群
7.1加群の定義
7.2完全系列, 5項補題とヘビ補題
7.3 Noether環とNoether加群

第8講 有限群の表現
8.1有限群の表現
8.2 Maschkeの定理と既約分解

第9講 不変式環
9.1不変量と不変式
9.2有限群の表現から定まる不変式環
9.3不変式環の有限生成性

第10講 次数加群とHilbert--Poincar ́e級数
10.1次数加群
10.2体上有限生成な次数環
10.3 Hilbert--Poincar ́e級数

第11講 テンソル積とHom加群
11.1テンソル積
11.2 Hom加群

第12講 完備化
12.1環の完備化
12.2加群の完備化
12.3 Artin--Reesの補題

第13講 正則局所環
13.1環の次元
13.2正則局所環
13.3アフィン代数多様体の非特異点の特徴付け

第14講 指標理論
14.1有限巡回群の既約表現
14.2 Schurの補題
14.3 Hom表現
14.4表現の指標
14.5正則表現と群環

第15講 Molienの公式
15.1対称式の環
15.2 Molienの公式

第16講 SL(2,C)の有限部分群
16.1SL(2,C)とSU(2)
16.2SU(2)とSO(3,R)
16.3SO(3,R)の有限部分群
16.4SU(2)の有限部分群

第17講 Klein--Du Val特異点v
17.1 Klein--Du Val特異点·
17.2A型の場合
17.3D型の場合
17.4E8型の場合
17.5 Klein--Du Val特異点の方程式と特異点解消

第18講 ホモロジー
18.1複体のホモロジー
18.2ホモロジー長完全列

第19講 加群の分解
19.1射影分解
19.2 Tor加群
19.3 Tor長完全系列

第20講 二重複体
20.1二重複体とその全複体
20.2二重複体のTor加群への応用

第21講 Hilbertのsyzygy定理
21.1次数付き極小自由分解
21.2 Tor加群との関係
21.3 Koszul複体

付録A 局所化・整拡大
A.1分数環・局所化
A.2整拡大
A.3整拡大の上昇定理と下降定理

付録B Noether局所環の次元の理論
B.1 Artin局所環
B.2 Krullの単項イデアル定理
B.3 Krullの標高定理とパラメータ系

付録C Noether正規化補題とHilbertの零点定理
C.1体上有限生成代数と代数的独立性
C.2 Noetherの正規化補題
C.3体上有限生成代数の次元論

文献案内あとがきにかえて
参考文献
索引

✦ Table of Contents

はじめに
目次
第1講 平面曲線と特異点
1.1 平面曲線
1.2 平面曲線の特異点
第2講 形式的ベキ級数環
2.1 1変数形式的ベキ級数環
2.2 多変数の形式的ベキ級数環
2.3 平面曲線の接錐
第3講 ブローアップ
3.1 一般の体k上の平面曲線
3.2 射影直線
3.3 アフィン平面のブローアップ
3.4 全変換と狭義変換
3.5 ブローアップの繰り返し
第4講 Weierstrass 多項式
4.1 平面曲線の摂動
4.2 Weierstrass の準備定理
4.3 形式的ベキ級数環の UFD 性
第5講 平面曲線の特異点解消
5.1 最大接触度
5.2 平面曲線の特異点解消定理
第6講 アフィン代数多様体と座標環
6.1 アフィン代数多様体
6.2 座標環
6.3 接平面と特異点
第7講 加群
7.1 加群の定義
7.2 完全系列，5項補題とヘビ補題
7.3 Noether 環と Noether 加群
第8講 有限群の表現
8.1 有限群の表現
8.2 Maschke の定理と既約分解
第9講 不変式環
9.1 不変量と不変式
9.2 有限群の表現から定まる不変式環
9.3 不変式環の有限生成性
第10講 次数加群と Hilbert-Poincare 級数
10.1 次数加群
10.2 体上有限生成な次数環
10.3 Hilbert-Poincare 級数
第11講 テンソル積と Hom 加群
11.1 テンソル積
11.2 Hom 加群
第12講 完備化
12.1 環の完備化
12.2 加群の完備化
12.3 Artin-Rees の補題
第13講 正則局所環
13.1 環の次元
13.2 正則局所環
13.3 アフィン代数多様体の非特異点の特徴付け
第14講 指標理論
14.1 有限巡回群の既約表現
14.2 Schur の補題
14.3 Hom 表現
14.4 表現の指標
14.5 正則表現と群環
第15講 Molien の公式
15.1 対称式の環
15.2 Molien の公式
第16講 SL(2, C) の有限部分群
16.1 SL(2, C) と SU(2)
16.2 SU(2) と SO(3, R)
16.3 SO(3,R) の有限部分群
16.4 SU(2) の有限部分群
第17講 Klein-Du Val 特異点
17.1 Klein-Du Val 特異点
17.2 A型の場合
17.3 D型の場合
17.4 E_8型の場合
17.5 Klein-Du Val 特異点の方程式と特異点解消
第18講 ホモロジー
18.1 複体のホモロジー
18.2 ホモロジー長完全列
第19講 加群の分解
19.1 射影分解
19.2 Tor 加群
19.3 Tor 長完全系列
第20講 二重複体
20.1 二重複体とその全複体
20.2 二重複体の Tor 加群への応用
第21講 Hilbert の syzygy定理
21.1 次数付き極小自由分解
21.2 Tor 加群との関係
21.3 Koszul 複体
付録A 局所化・整拡大
A.1 分数環・局所化
A.2 整拡大
A.3 整拡大の上昇定理と下降定理
付録B Noether 局所環の次元の理論
B.1 Artin 局所環
B.2 Krull の単項イデアル定理
B.3 Krullの標高定理とパラメータ系
付録C Noether 正規化補題と Hilbert の零点定理
C.1 体上有限生成代数と代数的独立性
C.2 Noether の正規化補題
C.3 体上有限生成代数の次元論
文献案内―あとがきにかえて
参考文献
索引