代数学引论（第二卷）: 线性代数（第3版）

✍ Scribed by A.И.柯斯特利金

• Publisher: 高等教育出版社
• Year: 2008
• Tongue: Chinese
• Leaves: 341
• Series: 俄罗斯数学教材选译系列
• Category: Library

✦ Synopsis

《代数学引论(第2卷):线性代数(第3版)》是作者总结了在莫斯科大学几十年来代数课程的教学经验而写成的，全书分成三卷《第一卷：基础代数，第二卷：线性代数，第三卷：基本结构》，分别对应于莫斯科大学数学力学系代数教学的三学期的内容。作者在书中把代数、线性代数和几何统一处理成一个教程，并力图把《代数学引论(第2卷):线性代数(第3版)》写成有利于培养学生创造性思维的教材。书中配置了难度不同的大量习题。并向学生介绍一些专题中尚未解决的问题。第三卷的内容包括群论的一些基本理论，群的结构。表示论基础，环、代数与模。伽罗瓦理论初步。

✦ Table of Contents

《代数学引论(第2卷)线性代数(第3版)》
书名页
版权页
《俄罗斯数学教材选译》序
序言
目录页
目录页1
目录页2
目录页3
目录页4
目录页5
目录页6
目录页7
正文
第一章 空间与形式
§1 抽象向量空间
1.论据与公理系统
2.线性包络.子空间
3.关于几何解释的说明
习题
§2 维数与基底
1.线性相关性
2.向量空间的维数与它的基底
3.坐标空间的同构
4.子空间的交集与和
5.直和
6.商空间
习题
§3 对偶空间
1.线性函数
2.对偶空间与对偶基底
3.自反性
4.线性无关性的判别法
5.齐次线性方程组解的几何解释
习题
§4 双线性型和二次型
1.多重线性映射
2.双线性型
3.双线性型的矩阵的转换规则
4.对称型与斜对称型
5.二次型
6.二次型的规范型
7.实二次型
8.正定型与正定矩阵
9.斜对称二次型的规范型
10.普法夫型
习题
第二章 线性算子
§1 向量空间的线性映射
1.线性映射语言
2.用矩阵给定线性映射
3.核与像的维数
习题
§2 线性算子代数
1.定义与例子
2.算子代数
3.线性算子在不同基底之下的矩阵
4.线性算子的行列式与迹
习题
§3 不变子空间与特征向量
1.投影
2.不变子空间
3.特征向量，特征多项式
4.可对角化的判别准则
5.不变子空间的存在性
6.共轭线性算子
7.商算子
习题
§4 若尔当标准型
1.哈密顿-凯莱定理
2.若尔当标准型：定理与推论
3.根子空间
4.幂零算子的情形
5.唯一性题
6.化若尔当标准型的其他方法
7.其他的标准型
习题
第三章 带有纯量乘积的向量空间
§1 欧几里得向量空间
1. 直观理解与定义
2. 基本的度量概念
3. 正交化过程
4. 欧几里得向量空间的同构
5. 标准正交基底与正交矩阵
6. 辛空间
习题
§2 埃尔米特向量空间
1. 埃尔米特型
2. 度量关系
3. 正交性
4. 西矩阵
5. 可赋范的向量空间
习题
§3 带有纯量乘积的空间上的线性算子
1. 线性算子与 θ 线性型之间的关系
2. 线性算子的类型
3. 埃尔米特算子的规范形式
4. 把二次型化到主轴上去
5. 把两个二次型同时化为规范型
6. 保距算子的规范形式
7. 正规算子
8. 正定算子
9. 极化分解
习题
§4 复化与实化
1. 复结构
2. 实化
3. 复化
4. 复化—实化—复化
习题
§5 正交多项式
1. 逼近问题
2. 最小二乘法
3. 线性方程组与最小二乘法
4. 三角多项式
5. 关于自共轭算子的说明
6. 勒让德多项式(球面多项式)
7. 加权正交
8. (第一类)切比雪夫多项式
习题
9. 埃尔米特多项式
习题
第四章 仿射空间与欧几里得点空间
§1 仿射空间
1. 仿射空间的定义
2. 同构
3. 坐标
4. 仿射子空间
5. 重心坐标
6. 仿射线性函数与线性方程组
7. 平面位置关系
习题
§2 欧几里得(点)空间
1. 欧几里得度量
2. 点到平面的距离
3. 平面间的距离
习题
§3 群与几何
1. 仿射群
2. 欧几里得空间的运动
3. 保距变换群
4. 与群对应的线性几何
5. 欧几里得空间的仿射变换
习题
§4 带有指数有限度量的空间
1. 指数有限度量
2. 伪欧几里得运动
3. 洛伦茨群
4.真洛伦茨群
习题
第五章 二次曲面
§1 二次函数
1. 仿射空间上的二次函数
2. 二次函数的中心点
3. 把二次函数化成规范型
4. 欧几里得空间上的二次函数
习题
§2 仿射空间与欧几里得空间的二次曲面
1. 二次曲面的一般概念
2. 二次曲面的中心
3. 仿射空间中的二次曲面的规范型
4. 二次曲面的类型
5. 欧几里得空间中的二次曲面
习题
§3 射影空间
1. 射影平面的模型
2. 任意维的射影空间
3. 齐次坐标
4. 仿射图
5. 代数(流形)簇的概念
6. 射影群
7. 射影几何
8. 重比(交比)
9. 重比的坐标表达式
习题
§4 射影空间的二次曲面
1. 分类
2. 射影二次曲面的例子与表现
3. 直线与射影二次曲面的交
4. 关于射影二次曲面的一般说明
习题
第六章 张量
§1 张量计算初步
1. 张量的概念
2. 张量的乘积
3. 张量的坐标
4. 在不同坐标系中的张量
5. 空间的张量积
习题
§2 张量的卷积,对称化与交错化
1. 张量的卷积
2. 结构张量代数
3. 对称张量
4. 斜对称张量
5. 张量空间
习题
§3 外代数
1. 外积
2. 向量空间的外代数
3. 与行列式的联系
4. 向量子空间与此同时p 向量
5. p 向量可分解条件
习题
第七章 附录
§1 线性算子的范数与函数
1. 线性算子的范数
2. 线性算子(矩阵)的函数
3. 指数函数
4. 线性群的单参数子群
习题
§2 线性微分方程
1. 指数函数的导数
2. 微分方程
3. n 阶线性微分方程
§3 凸多面体与线性规划
1. 问题的提出
2. 论据
3. 基本的几何概念
习题
§4 非负矩阵
1. 生产上的论据
2. 非负矩阵的性质
3. 随机矩阵
§5 罗巴切夫斯基几何
1. 罗巴切夫斯基空间
2. 罗巴切夫斯基的运动
3. 罗巴切夫斯基度量
4. 罗巴切夫斯基平面
§6 有待解决的问题
1. 施特拉辛问题
2. 正交分解
3. 有限射影平面
4. 空间的基底与拉丁方
习题的答案与提示
教法说明
索引