一阶偏微分方程手册

✍ Scribed by 〔德〕E.卡姆克（E.Kamke）

• Publisher: 科学出版社
• Year: 1983
• Tongue: Chinese
• Leaves: 354
• Category: Library

✦ Synopsis

本手册是作者的《常微分方程手册》一书的姊妹篇,专讲一个未知函数的一阶偏微分方程。其中第一部分简要地叙述了关于一阶偏微分方程（组）的一些基本概念、一般解法和许多重要结果；第二部分收集了附有解和解法（或解法提要）的近400个一阶偏微分方程（组）。
本手册是根据俄译本翻译的；可供数学、力学、物理学等方面的研究人员、工程技术人员和高等院校有关专业的教师、学生使用。

✦ Table of Contents

某些记号与缩写
第一章 线性与拟线性微分方程
1.引言
1.1. 一般概念.记号及术语
1.2. 解的性态预述
2.两个自变量的齐次线性方程：f(x,y)p+g(x,y)q=0
2.1. 几何解释
2.2. 关于积分和等高线的注记
2.3. 特征线与积分曲面
2.4. 利用特征线求方程的解
2.5. 借助于特征方程的组合求解方程
2.6. 特殊情况：p+f(x,y)q=0
2.7. 函数相关性和雅可比行列式(附录)
2.8. 主积分.存在定理.柯西问题
2.9. 关于利用级数展开的注记
2.10. 解法概述
3. 一般的n个自变量的齐次线性方程：Σfᵥ(r)pᵥ=0
3.1. 定义和注记
3.2. 特征线与积分曲面
3.3. 借助于特征方程的组合求解方程
3.4. 积分的基本组.柯西问题
3.5. 特积分已知时方程的简化
3.6. 特殊情况：p+Σfᵥ(x,y)qᵥ=0
3.7. 积分的存在.柯西问题的解
3.8. 雅可比乘子
3.9. 其它注记
3.10. 解法概述
4. 一般线性方程：Σfᵥ(r)pᵥ+f₀(r)z=f(r)
4.1. 定义
4.2. 化一般线性方程为齐次线性方程
4.3. 存在性与唯一性定理
4.4. 哈尔不等式
4.5. n=2的情况(补充定理)
5. 拟线性方程：Σfᵥ(r,z)pᵥ=g(r,z)
5.1. 几何解释
5.2. 特征线与积分曲面
5.3. 利用积分曲面的几何特性求解微分方程的例子
5.4. 化拟线性方程为齐次线性方程
5.5. 特殊情况：p+Σfᵥ(x,y,z)qᵥ=g(x,y,z)
5.6. 柯西问题的解
5.7. 展成幂级数求解
5.8. 解法概述
6. 线性方程组
6.1. 特殊情况：pᵥ=fᵥ(r),(v=1,…,n)
6.2. 一般线性方程组：定义和记号
6.3. 对合组与完全组
6.4. 解雅可比组的梅耶方法
6.5. 完全组的性质
6.6. 齐次组
6.7. 齐次组的简化
6.8. 一般方程组的简化
6.9. 解法概述
7. 拟线性方程组
7.1. 特殊情况
7.2. 一般拟线性方程组
第二章 两个自变量的非线性微分方程
8. 一般概念、记号及术语
8.1. 方程的几何解释
8.2. 特征(条)的几何解释
8.3. 条形的定义
8.4. 特征方程组的导出
8.5. 推导特征方程组的其它方法
8.6. 正常面元素.奇异面元素
8.7. 特征条.积分条与积分曲面
8.8. 特积分.奇积分.全积分.通积分
9. 拉格朗日方法
9.1. 首次积分
9.2. 由两个非显见的首次积分求全积分
9.3. 由一个非显见的首次积分求全积分
9.4. 由两个非显见的首次积分求单参数积分族
9.5. 由一个全积分求其它积分
9.6. 通过已给定的初始条形的积分曲面(柯西问题)
10. 存在定理和某些其它解法
10.1. 正规柯西问题
10.2. 一般存在定理.柯西特征方法
10.3. 特殊情况：p=f(x,y,z,q)
10.4. 解析函数情况下用幂级数求解
10.5. 用更一般的级数求解
10.6. 不等式与估值
10.7. 解法概述
11. 两个自变量的特殊形状的非线性方程的解法
11.1. F(x,y,z,p)=0或F(x,y,z,q)=0
11.2. F(p,q)=0
11.3. F(z,p,q)=0
11.4. p=f(x,q)或q=g(y,p)
11.5. f(x,p)=g(y,q)与F[f(x,p𝜑(z)),g(y,q𝜑(z))]=0
11.6. f(x,p)+g(y,q)=z
11.7. p=f(y/x,q),F(y/x,p,q,xp+yq-z)=0
11.8. F(xp+yq,z,p,q)=0
11.9. p²+q²=f(x²+y²,yp-xq)
11.10. F[f(x)p,g(y)q,z]=0
11.11. f(p,q)=xp+yq；f关于p及q是齐次的
11.12. z=xp+yq+f(p,q)与F(p,q,z-xp-yq)=0.克莱罗方程
11.13. F(x,y,p,q)=0
11.14. F(x,y,z,p,q)=0.勒让德变换
11.15. F(x,y,z,p,q)=0.欧拉变换
11.16. F(xp-z,y,p,q)=0
11.17. xf(y,p,xp-z)+qg(y,p,xp-z)=h(y,p,xp-z)
11.18 qf(u)=xp-yq,xqf(u)=xp-yq,xf(u,p,q)+yg(u,p,q)=h(u,p,q),其中u=xp+yq-z
第三章 n个自变量的非线性微分方程与方程组
12.n个自变量的非线性方程：F(r,z,p)=0
12.1. 一般概念.记号及术语
12.2. 特征条形与积分曲面
12.3. 化方程为仅含有未知函数的导数的方程
12.4. 在解析函数情况下用幂级数求解
12.5. 一般存在定理.柯西特征方法
12.6. 显式微分方程的解的存在性与唯一性定理.存在区域的估计
12.7. 全积分的存在定理.由全积分求其它的积分
12.8. 雅可比解法
12.9. 特殊情况：p=f(x,y,q)
12.10. 在力学中的应用
12.11. 不等式与估计
13. n个自变量的特殊形状的非线性方程的解法
13.1. F(p)=0
13.2. F(z,p)=0
13.3. F[f₁(x₁,p₁𝜑(z)),…，fₙ(xₙ,pₙ𝜑(z))]=0.可分离变量方程
13.4. 齐次方程
13.5. F(r,z,p)=0.勒让德变换
13.6. Σpᵥfᵥ=Σxᵥfᵥ-fₙ₊₁,其中1≤k≤n,fᵥ=fᵥ(x₁,…,xₖ₋₁,pₖ,…,pₙ,Σxᵥpᵥ-z)
13.7. z=x₁p₁+…+xₙpₙ+f(p₁,…,pₙ).克莱罗方程
14. 非线性方程组
14.1. 显式方程组.可积性条件
14.2. 解析函数范围内雅可比组的解的存在与唯一性定理
14.3. 雅可比组在实函数范围内的解的存在与唯一性定理.用梅耶变换化雅可比组为一个方程
14.4. 雅可比括号.泊松括号
14.5. 一般非线性方程组
14.6. 对合组与完全组
14.7. 不依赖于z的对合组的雅可比解法
14.8. 勒让德变换的应用
14.9. 一般方程组的雅可比解法

第二部分 各种微分方程
引言
第一章 仅含一个偏导数的微分方程
第二章 两个自变量的线性与拟线性微分方程
1-12. f(x,y)p+g(x,y)q=0
13-19. f(x,y)p+g(x,y)q=h(x,y)
20-31. f(x,y)p+g(x,y)q=h₁(x,y)z+h₀(x,y)
32-43. f(x,y)p+g(x,y)q=h(x,y,z)
44-59. f(x,y,z)p+g(x,y,z)q=h(x,y,z),函数f,g关于z是线性的
60-65. f(x,y,x)p+g(x,y,z)q=h(x,y,z),函数f,g关于z不高于二次
66-71. 其它拟线性方程
第三章 三个自变量的线性与拟线性微分方程
1-19. f(x,y,z)wx+g(x,y,z)wy+h(x,y,z)wz=0,函数f,g,h的次数不超过1
1-6. 单项系数
7-11. 二项系数
12-19. 三项系数
20-41. f(x,y,z)wx+g(x,y,z)wy+h(x,y,z)wz=0，函数f,g,h的次数不超过2
20-27. 单项系数
28-38. 二项系数
39-41. 三项系数
42-59. f(x,y,z)wx+g(x,y,z)wy+h(x,y,z)wz=0,其它情况
60-64. 一般线性与拟线性微分方程
第四章 四个和更多个自变量的线性与拟线性微分方程
第五章 线性与拟线性微分方程组
1-2. 两个自变量
3-9. 三个自变量
10-17. 四个自变量，两个方程
18-23. 四个自变量，三个方程
24-29. 五个自变量，两个方程
30-32. 五个自变量，三个或四个方程
33-36. 其它方程组
第六章 两个自变量的非线性微分方程
1-13. ap²+…
14-20. f(x,y,z)p²+…
21-33. apq+…
34-42. f(x,y)pq+…
43-48. f(z)pq+…
49-54. (··)p²+(··)pq+…
55-68. ap²+bq²=f(x,y),f(x,y,z)
69-74. f(x,y)p²+g(x,y)q²+h(x,y,z)
75-80. f(x,y,z)p²+g(x,y,z)q²=h(x,y,z)
81-88. (··)p²+(··)q²+(··)p+(··)q+
89-111. (··)p²+(··)q²+(··)pq+…
112-127. 关于p,q为三次与四次的方程
128-139. 其它非线性方程
第七章 三个自变量的非线性微分方程
1-7. 含有一个或两个导数二次项的方程
8-14. 含有多于两个导数二次项且有常系数的方程
15-21. 含有导数二次项的其它方程
22-31. 含有更高次导数的方程
第八章 多于三个自变量的非线性微分方程
第九章 非线性微分方程组
参考文献中采用的缩写
部分外国人姓氏中外文对照表
索引