ヘンテコ関数雑記帳

✍ Scribed by 佐々木浩宣

• Publisher: 共立出版
• Year: 2021
• Tongue: Japanese
• Leaves: 251
• Category: Library

✦ Synopsis

関数は,微分や積分ができてあたりまえ?
――否,教科書に載らない「ヘンテコな関数」が多数蠢いているのだ!

高校や大学教養課程の教科書に登場する関数たちは,何回でも微分でき,積分も可能なものばかりだ。関数はこのようにお行儀の良いものばかりなのか? 否,教養課程の教科書に載らない「ヘンテコな関数」の方がずっとずっとたくさん生息しているのだ。
このようなヘンテコたちは,数学史のターニングポイントを演じたり,様々な専門分野への橋渡しも担っている。
本書は「ヘンテコで刺激的な関数」を寄せ集めたカタログである。関数たちが織り成す信じがたい現象をきっかけに,現代解析学への扉を開く一冊である。

✦ Table of Contents

はじめに
目次
第I部　変な関数　初級編
1章　高木の関数
1.1 ブロフィール
1.2 高木関数の定義
1.3 高木関数で遊ぶ
1.4 微分不可能性とは何か？
1.5 T(x)の解析
1.5.1 連続性
1.5.2 微分不可能性
Coffee Break
章末問題
2章　悪魔の階段
2.1 プロフィール
2.2 c(x) の定義
2.3 悪魔の階段で遊ぶ
2.4 階段に足を乗せる
2.5 踏み板と踏み板を接着するもの
Coffee Break
章末問題
3章　C¹級遥かなり
3.1 プロフィール
3.2 単調な関数
3.3 微分可能性
3.4 絶対連続と特異連続
3.5 有界変動関数
3.6 高木関数，再び
章末問題
4章　—脱線—　昆虫と悪戯書き
4.1 虫とり
4.2 悪戯書き
5章　解析的でない C^∞ 級関数
5.1 プロフィール
5.2 C^∞ であること
5.3 解析的な関数
5.4 ジュヴレイ空間
Coffee Break
章末問題
6章　隆起関数
6.1 プロフィール
6.2 C^∞_c
6.3 隆起関数の滑らかさ
6.4 軟化作用素
Coffee Break
章末問題
7章　sin sin sin・・・
7.1 プロフィール
7.2 n重合成関数
7.3 マクローリン展開
7.4 フーリエ級数
Coffee Break
章末問題
8章　無理数の悪戯
8.1 プロフィール
8.2 ゼロ点の振る舞いと最大値
8.3 〈√2ℕ〉と ℤ+√2ℤ
8.4 さらなる悪戯
Coffee Break
章末問題
第II部　変な関数・中級編と少しだけ上級編
9章　ランベルトのW関数
9.1 プロローグ
9.2 関数 W の定義
9.3 幾つかの超越方程式
9.4 空気抵抗
9.4.1 θ_M(A)
9.5 複素化
9.6 i^i^i・・・
章末問題
10章　ビックリ
10.1 プロローグ
10.2 階乗
10.3 階乗の増大と近似
10.4 e と π
10.5 (n!)^p
Coffee Break
章末問題
11章　—脱線—　10と3と矢印と巨大な数たち
Coffee Break
章末問題
12章　強烈にお行儀の良い関数
12.1 プロローグ
12.2 究極の滑らかさと減衰
12.3 ゲルファント・シロフ空間
12.4 最高にお行儀の良い関数たち
Coffee Break
章末問題
13章　ハメルの関数
13.1 プロローグ
13.2 ちょっとした切っ掛け
13.3 なんとか構成してみる
13.4 Aのような集合
13.5 あるのか，ないのか
13.6 ZFC下での証明
13.7 ハメルの関数は幾つある？
13.8 せっかくなのでぶっ飛んだ関数を作る
13.9 究極のヘンテコ
Coffee Break
章末問題
第III部　補足
14章　解析学「超」斜め読み
14.1 実数と数列の収束
14.2 連続関数
14.3 複素関数
14.3.1 正則性
14.3.2 複素積分
14.4 ルベーグ積分
14.4.1 可測集合
14.4.2 可測関数
14.4.3 ルべーグ積分
14.5 フーリエ解析
14.5.1 フーリエ級数
14.5.2 フーリエ変換
文献紹介と，あとがきに代えて
参考文献
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[51]
索引