uber Konvergenzbegriffe fur lineare Operatoren in der Xumerischen Mathematik Von GENNADI VAINIKKO in Tartu (UdSSR) (Eingegangen am 3.4.1975) 6 1. Einleitung Die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit sind in der Vorlesung ,,Funktionalanalysis der Diskretisierungsmethoden" enthalten, die der Autor an der TH Karl-Marx-Stadt im Mai -Juni 1974 und an der TU Dresdeh im September -Oktober 1975 gehalten hat. Wir behandeln einige funktionalanalytische Probleme, die bei Konvergenzuntersuchungen der Diskretisierungsmethoden entstehen. Um dieKonvergenz der Niiherungslosungen zu gewahrleisten, mussen diediskretisierten Operatoren in einem genugend starken Sinne konvergieren. I n der Sprache der Funktionalanalysis erweisen sich diese Konvergenzbegriffe als stabile, kompakte oder regulare Konvergenz linearer Operatoren. Der Stabilitatsbegriff ist in der Theorie der Niiherungsmethoden tief verwurzelt (siehe z.
B. [5. 13, 15, 191). Der Begriff der kompakten Konvergenz starnnit (unter einer anderen Bezeichnung) von Sobolew [20J (1 956), blieb jedoeh lange unbenierkt und ist (unter verschiedenen Benennungen) in [ 1 -3, 23 -28, 2 L -23, 141 noch einmal eingefiihrt und mit versehiedenen Allgenieinheitsgraden untersueht . Der Regularitatsbegriff scheint ziemlich neu zu sein und ist (wieder unter verschiedenen Benennungen) in [ l l , 6-8, 31 -341 behandelt.
\Yir begniigen uns mit der Betrachtung besrhrankter Operatoren in vollstkndigen Rautnen. Man kann die Ergebnisse teilweise ohne wesentliche Schwierigkeiten auf den Fall unvollstrindiger Riiume oder (und) unbeschrrinkter Operatoren verallgemeinern, wenn man Graph Normen benutzt. Doch wurde das die Theorie zu uniibersichtlich machen, was die Anwendungen ersehwert und nicht ineiri Xnliegen ist.
Einigo Anwendungen, wo inm die Begriffe der kompakten oder regularen Konvergenz fur die Diskretisierungsmethoden benutzt, kann man in [ % I ,