uber k-Qs-reguliire p-Gruppen Von WOLFGANG BANNUSCHER in Rostock (Eingegangen am 8.4. 1986) 1. Einleitung I n [l] wurde der Regularitatsbegriff bei p-Gruppen von P. HALL [4] in folgender Weise verallgemeinert : 1.1. Definition. Eine p-Gruppe @ heiBt k-regzdur, falls fur alle X, Y E @ gilt mit geeigneten D i € ( X , Y)'. Fur k = 1 ergibt sich daraus die Definition der Regularitat von I?. HALL. I n [ 13 und [2] wurden &e wichtigsten Eigenschaften von regularen Gruppen auf k-regulare p-Gruppen verallgemeinert.
Da in einer p-Gruppe @ die Kommutatorgruppe a' in der Frattinigruppe @(a) enthalten ist, liegt folgende Verallgemeinerung der HaLschen Regularitat nahe :
1.2. Definition. Eine p-Gruppe @ heiBt 0-regzdur, fells fur alle X, Y E (3 gilt (XY)p=XpYp n 0% f mit geeigneten D, E @((X, Y ) ) .
Es stellt sich heraus, daR die @-Regularitat gleichwertig ist zu dem von MANN eingefuhrten Begriff der schwachen Regularitat.
Entsprechend dem Ubergang von der Regularitat zur k-Regularitat betrachten wir anstelle der @-Regularitat gleich allgemeiner die k-@-Regularitiit. Wir werden in &eser Arbeit erkennen, daB einige Eigenschaften von k-regularen p-Gruppen erhalten bleiben, wenn man allgemeiner k-@-regulke p-Gruppen zulafit. Weiterhin werden die Verwandtschaftsbeziehungen zwischen k-reguliiren und k-O-regularen p-Gruppen geklart.
Wir benutzen folgende Bezeichnungen :