Die Zusammenhilnge zwischen den Homologiegruppen von Biindelraum, Basisraum und Faaer sind vielfach untersucht und beschrieben worden [I 11, [16]. Uns interessieren im Hinblick auf Anwendungen in der algebraischen Geometrie [6] in Basis und Fmer ausdriickbare Kriterien, unter denen die Homologiegruppen des Biindelraums wie die des Produktbiindels iiber die Kij'"ETHforme1 berechnet werden konnen. Insbesondere interessieren bei Charakteristikenproblemen und Schnittzahlformeln Basiszyklen fur die Homologiegruppen, deren Gewinnung im Abschnitt 4 beschrieben wird. 1. Homologie 1.1. Es sei X. eine Homologietheorie mit Koeffizientengruppe GI), die den einer zuliissigen 2) Kategorie &? von kompakten Raumpaaren und stetigen Abbildungen in die Kategorie der abelschen Gruppen. Im einzelnen werden wir weiter unten noch zusatzliche Forderungen stellen. Zum Beispiel brauchen wir die KuNNETHformel und die Stetigkeit von ' de. 'dec bezeichne eine stetige [S] Homologietheorie X.. Wir bezeichnen weiter eine Homologietheorie 2 mit ' de*, wenn in ihr der folgende Satz3) gilt : Satz 1.1
. (KUNNETH). Es seien ( B , A ) X ( Y , Z ) = ( B X Y , B X Z U A X Y )
das topologische Produkt zweier Raumpaare und G und H( Y , 2) frei4). Dann gibt es far jedes r einen natQrlichen Isomorphismus (1.1) Dabei bedeute EILENBERG-STEENROD-kiOm0n [8] geniigt. Wir betrachten sie &IS Funktor iiber v r : (H(& A ) 0 H(Y,Z)),=H,. ( ( B , A ) X ( Y , Z ) ) 0 G . ( H P , A ) 0 H ( Y , Z ) ) , = 0 H,(& A ) 0 H , ( Y , Z ) * p +Q =r 1) Es ist HOP =G, wenn P nur au8 einem Punkt besteht. 2) Fur zuliissig siehe [S]. 3) In der singuliiren Homologie und in der CEcH-Homologie gilt dieser Satz [17]. 4) Fur unsere Anwendungen genugt dieser Spezialfall.