I n der vorliegenden Arbeit beschaftigen wir uns mit gebrochenen Potenzen infinitesimaler Generatoren von Familien MARKovscher ubergangswahrscheinlichkeiten und zwar insbesondere mit dem Zusammenhang zwischen diesen Potenzen und zufalligen Zeitsubstitutionen bei MARKovschen Prozessen. Auf diesen Zusammenhang wies erstmalig S. BOCHNER [2] (vgl. auch [ 5 ] , [6], [S]) hin, indem er ausgehend von stabilen stochastischen Prozessen eine Interpretation des Operat,ors a (-Gr(0 < cc < 2) angab. Davon ausgehend entwickelten R. S. PHILLIPS [12] und A. V. BALAKRISHNAN [ 11 einen Funktionalkalkiil fur infinitesimale Generatoren stark-stetiger Halbgruppen auf BANAcHschen Raumen. I n Verallgemeinerung der Ergebnisse von A. V. BALAKRISHNAN bezuglich der gebrochenen Potenzen infinitesimaler Generatoren bewies der Verfasser [9], [lo], [l 11 fur Operatoren vom Typ (M) sogenannte Potenzgesetze sowie Aussagen uber die eindeutige Losbarkeit der Operatorengleichung A" = B. Im ersten Teil dieser Arbeit geben wirausgehend von der in [9] angegebenen Definition -Eigenschaften der gebrochenen Potenzen an und beweisen eine Integraldarstellung ihrer Resolventen als MITTAG-LEFFLER-Transformierte, wahrend wir im zweiten Teil auf die operatorentheoretische Charakterisierung zufalliger Zeitsubstitutionen durch Funktioneninsbesondere Potenzender infinitesimalen Generatoren von MARKovschen Ubergangswahrscheinlichkeiten eingehen. Eine Darstellung der daraus resultierenden Zusammenhange zwischen den gebrochenen Potenzen des LAPLACE-Operators und zufhlligen Zeitsubstitutionen beini WIENERschen Prozefi bleibt einer folgenden Arbeit vorbehalten. 1. Es sei B ein abgeschlossener linearer Operator vom Typ ( M ) ( M > 0 ) uber einem BANACHraum x, d. h. D ( B ) = x und ll(B + qI)-lIl 5 Mq-I (7 > 0).
Fur jedes cc mit 0 < cc < 1 ist dann durch ~