Über Folgen von Bogenlängenfunktionen zu gleichmäßig konvergenten Kurvenfolgen

✍ Scribed by Peter Jonas

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1971
• Tongue: English
• Weight: 613 KB
• Volume: 48
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19710480109

✦ Synopsis

Es sei eine stetige Kurve f des dreidimensionalen euklidischen Raumes uber dem Parameterintervall [a, b] gegeben. Eine Folge (f,) von stetig differenzierbaren Kurven uber [a, b], die gleichmii13ig gegen f konvergiert, werde betrachtet. Die Folge der Bogenliingenfunktionen der Kurven f,, ist eine Folge nicht-fallender stetig differenzierbarer Funktionen uber [a, b].

Die auf diese Weise entstehenden Folgen stetig differenzierbarer Funktionen uber [a, b] (f sei vorgegeben, (f,) variiert) werden in der vorliegenden Mitteilung in der Menge aller Folgen stetig differenzierbarer Funktionen [a, b] charakterisiert. Ein analoges Problem fiir den Fall, da13 man Kurvenfolgen betrachtet, die in einem schwacheren Sinne (distributionentheoretisch) konvergieren, wird in einer folgenden Mitteilung untersucht. Fur eine stetige Kurve f ( t ) = (TI ( t ) , y 2 (t), rp3 ( t ) ) 2) uber dem Parameter-interval1 [a, b] und [c, d ] c [a, b] setzen wir Dabei wird das Supremum uber alle Unterteilungen n = [c = to ti 5 . . . 5 t, = d ] des Intervalles [c, d ] erstreckt. Falls f uber [c, d ] rektifizierbar ist, ist L([c, d ] ; f ) die Bogenlange von f uber [c, d]. Im anderen Falle gilt L ([c, d ] ; f ) = 0 0 . Die stetige Funktion L ([a, x] ; f), definiert fur IL: E [a, b], bezeichnen wir im folgenden als Bogenlhgenfunktion von f uber [a, bl. 1) Teil der Dissertation des Verfassers an der Martin-Luther-Universitiit Halle-Witten-2) Reelle Funktionen werden mit griechischen und Funktionen, deren Werte Vektoren berg, 1969. Referenten: Prof. Dr. W. TUTSCHKE, Prof. Dr. J. NAAS. des dreidimensionalen Raumes sind, mit lateinischen Buchsteben bezeichnet.