Es sei r eine orientierte geschlossene JORDANkurve der Klasse c" (vgl. [5]) in der komplexen Ebene C. Das von r begrenzte endliche Gebiet VOR C bezeichnen wir niit G+; die Punktmenge, die G, u r zur Vollebene erganzt, nennen wir G-. Das Gebiet G, inoge den Punkt t = 0 enthalten.
Wir betrachten singulare Integrodifferentialgleichungen (SIDGL) der Gestalt wobei das singulare Integral (SF) ( t ) ="""at Zzi z -t r a h CAncHYscher Hauptwert definiert ist. Es seien CksA((r) der BANAcHraum der auf r k-ma1 stetig differenzierbaren koniplexwertigen Funktionen, deren k-te Ableitung auf r einer HOLDER-Bedingung mit dem Exponenten 1, 0 5 1 < 1, geniigt, und W,k(r), 1 < p < ca, der BANAcHraum auer Funktionen f ( t ) E Lp(r), die verallgemeinerte Ableitungen f@)(t) t Lp((r), i = 1, ..., k , besitzen (vgl.
[5]). Fur 3, = 0 bzw. k = 0 setzen wir im weiteren Ck.0 = Ck bzw. W: = L p .
Unter der Bedingung
( 2 ) a,(t) i -btRw + 0 , t E r, und entsprechenden Glattheitsvoraussetzungen an die Funktionen a,@) und b,(t) ist der Operator E ,Y(CmJ(I'), CoJ((r)) l), 0 < 1 < 1, bekanntlich ein @-Operator mit dem Index (vgl. [7], [9], [ll], [13] und die dort angegebene Literatur). Das gleiche Resultat erhiilt man fur den Operator d im Raumpaar W?(r), Lp(r), 1 < p < 00 [7]. Dabei heiBt der Operator a+? E -6y(x, Y ) im Paar der h6CHETraUme x, Y @-Operator, wenn er normal 1) Mit U ( X , Y) bezeichnen wir die Menge der auf X definierten und im Raumpaar X, Y Iinearen stetigen Operat,oren; fur X = Y schreiben wir U ( X , Y) = U(X). *) Dieser Autor betrachtete auch Systeme derartiger Gleichungen. 3, Fur alle y E W i ( T ) gilt DtSy = SD,p, ([5], Kap. 6.1).