Über die Verallgemeinerung des CARTANschen Kalküls auf unendlichdimensionale Vektorräume

✍ Scribed by Carl-Heinz Scriba

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1966
• Tongue: English
• Weight: 382 KB
• Volume: 32
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19660320508

✦ Synopsis

Fur den z. B. in [ 2 ] ,

[S], [7] behandelten Kalkij der aul3eren Formen (alternierenden Differentialformen) von a. CARTAN ist die Verwendung von Koordinaten und die damit verbundene Beschriinkung auf den Rn wesentlich. Im folgenden wird gezeigt, wie sich dieser CARTANsChe KaIkiil zu eiiiem absoluten, d. h. koordinaten-und dimensionsfreien Kalkiil der ulternieremie.n multilinearen Funktionale verallgemeinern laat, der als ,,aul3ere Algebra" z. B. in [I], [3] behandelt ist. Die Darstellung kniipft an [4], [5] an und ist begriff lich insofern etwas elementarer, als vom Begriff des Tensorproduktes kein Gebrauch gemacht wird. Der CARTANsChe Kalkul ist ein symbolischer Kalkiil. Er bezieht sich auf den Begriff der ,,auperen oder symbolischen Form vom Grad r" (ctforme exterieure ou symbolique de degr6 m). Darunter wird ein Ausdruck von der Art n n . . . c Yq.. , VT [hV' . . . p] q = l v , = l verstanden, in dem die Koeffizienten yy, ... yT (reelle) Zahlen und die Symbole h l , . . . , h" ,,Vuriabbe oder Unbestimmte" (((variables ou indktermindes))) sind, wobei das ,,uupere Monom" (ccmon6me extdrieun)) [h"' ---hVr] alternierend ist, d. h. bei Vertauschung von irgend zwei Variablen ins (-1)- fache iibergeht. Die Variablen sind aber nicht im Sinn von Leerstellen zu verstehen, in die spezielle Inkremente, d. h. vektorielle Argumente eingesetzt werden konnen, und auch das %&ere Monom ist nur ein symbolischer Ausdruck, der gewissen Rechenregeln geniigt. Konkreter wird der CARTANsChe Kalkiil dann durch den Begriff des ,, Wertes einer auperen Form r" (waleur d'une forme extdrieure Ih) fur