1, I W die Mathieusche Differentialgleichung
( 1 ) y"(z) . + (A -2h2cos2z)y(z) = 0 D iril)t es nach dem Theorem von Floquet zu jedem Paranieterpaar A, h2 (beliebig koinplex) charakteristische Exponenten v derart, daS Losungen mit existieren. Da cos22 eine gerade Funktion ist, wird die Gesamtheit def charakt er i s t i schen Exponent en du rc h (31 cos7zv = y+; A, h2) bestimmt. Dabei ist yl(z; A, h2) die Losung von (1) mit den Anfangsbedingungen I>ic theoretische und numerische Beherrschung des Zusammenhangs (3) zwischen den Parametern A, h2 und dem charakteristischen Exponenten v bjldet ein Kernstuck der Theorie der Mathieuschen Funktionen. Man ist gewohnt, (3) i I I I Reellen graphisch darzustellen, jndem man in der ,(A, h2)-Ebene die charakteristischen Kurven v = const, vor allem fiir ganzzahlige v, zeichnet. Man erhit It so die bekann te Stabilitgtskart e der Ma thieu schen Diff erentialg leichung. Nachdem bekannt ist, daS die Losung yl(n; A , h2) als Funktion jedes Parariietcm ganz analytisch und hochstens von der Wachstumsordnung & ist l), wird in der vorliegenden Note die WeierstraBsche Produktentwicklung der. ganzen J'uriktionen -auf den Zusammenhang (3) angewandt. Es ergeben sich mit Hilfe Ijcknnnter einfacher Tatsachen uber den Verlauf der charakteristischen Kurven A l l ssii gen iiber das a sympt o tisch e Verha It en des c hara k t eristisc hen Exponent en, gebvisse Produ ktrelationen zwischen den Schnittpunkten einer $char charaktelistischer Kurven mit zwei Paaren pardleler Geraden, ferner Formeln und Nkhen] Ilwogeln zu r pra k tisc h en Berech nu ng der c h a ra k t erist isc h en Exponent en.
yJ0) .= 1 , y;(o) = 0. I l ) Vgl. F. W. SCHAFKE, Zur Parameterabhiingigkeit beim Anfangawertproblem fiir ge-\vihliche lineare Differentialgleichungen. Math. Nachr., Berlin 3 (1949), 20-39.