In der vorliegenden -4rbeit setzen wir die in [9], [lo], [ll], [12] begonnenen Untersuchungen uber die Realisierbarkeit von archimedischen 1) Vektorverbanden (K-Linealen) fort. Im Gegensatz zu B. S. WULICH (s. [14], Kap. V) interessieren uns Realisierungen von K-Linealen als RBume reeller stetiger Funktionen mit endlichen Funktionswerten. I n Punkt 2 erfolgt die Realisierung eines K-Lineals auf seinem Raum der maxiinalen (Z)-Ideale (Theorem 1). Es erweist sich, daD bei der Forderung gewisser Eigenschaften an die Realisierung einer bestimmten Klasse von K-Linealen (K-Linealen vom Typ (2)) Realisierungen auf lokalkompakten topologischen Raumen entstehen. I n den Satzen 2 und 3 werden nicht nur Zusaminenhange und Beziehungen zwischen Realisierungen mit diesen oder jenen Eigenschaften bewiesen, sondern es werden auch Bedjngungen fur die Existenz von Realisierungen eines K-Lineals X angegeben ; von Wichtigkeit ist dabei die Existenz einer monotonen Norm in X .
Fur viele nutzliche Anregungen und Ratschlage mochte der Autor seinem Lehrer, Herrn Dr. B. M. MAKAROW (Universitat Leningrad), herzlich danken.
Sei X ( S ) ein K-Lineal reeller auf dem Hausdorffschen 2) topologischen Raum S gegebener stetiger Funktionen mit endlichen Funktionswerten, wobei in X ( S ) die algebraischen und verbandstheoretischen (im weiteren auch Ordnungs-) Operatiolien punktweisedefiniert sind. X ( S ) heiDt Realisierungdes K-LinealsX, wenneine Abbildung von X auf X ( S ) existiert, die eine algebraische und Ordnungsisomorphie ist.
Kir werden sagen, daD eine Menge A ( S ) auf S stetiger Funktionen die B ediizgung (*) erfullt, wenn fur jeden beliebigen Punkt s € S eine Funktion x € A (S) mit x(s) + 0 existiert. Die Menge A ( S ) trennt die P u n k t e der M e n g e So C= S , wenn fur beliebigezwei Punkte s, s'E Xn (s + s') eine solche Funktion x E A ( S ) existiert, so daJ3 x(s) =j = ~( s ' ) gilt (s. [S], S. 19); A(#) trennt die P u n k t e der M e n g e S O streng, wenn fur jedes geordnete Punktepaar (s, s') (s + s'; s, s' E So) eine solche Funktion x € A(#) existiert, so daD x ( s ) = 0 und x(s') = 1 gilt (6. [ 2 ] , S. 16).
i) Ein K-Lineal X heiBt archimedisch, wenn aus n x 5 y(x, y E X) fur alle n = 1,2, . . . z 5 0 folgt. Ohne es besonders zu erwiihnen, betrachten wir irn weiteren ausschlierjlich archimedisohe K-Lineale. 3) Eine Teilmenge Y E X IieiBt normal in X, menn aus 5 E X , y € Y und 1.1 5 (yI folgt, daB z E Y ist (5. [14], S. 78).