Einleitung
Unter den neuen Methoden, die seit einigen Jahren in der Gruppentheorie bei der Untersuchung der allgemeinen Frage der ,,Gruppenanalyse" bzw. ,,Gruppensynthese" eingefuhrt worden sind, scheinen die von Herrn OLEG N. GOLOWIN [I, 2, 3, 41 von besonderer Wichtigkeit zu sein.
Der allgemeine Begriff, der diesen letzteren Methoden zugrunde liegt, ist das sogenannte regulare Produkt einer (beliebigen) Menge von Gruppen. Diese neue Begriffsbildung enthalt das freie Produkt von Gruppen als Spezialfall ; einen anderen wichtigen Spezialfall davon bilden die sogenannten k-nilpotenten ( k = 0, 1, 2, . . .) Produkte von. Gruppenunter diesen stimmen die 0-nilpotenten mit den direkten Produkten iiberein, wahrend die 1-nilpotenten, auch meta-abelsche Produkte genannt (GOLOWIN [3]), schon von Herrn FRIEDRICH W. LEVI in seinen Noten [5] fur den Spezialfall von zwei Faktoren eingefuhrt und naher untersucht worden sind.
Bezuglich der allgemeinen k-nilpotenten Produkte von Gruppen hat bekanntlich Herr GOLOWIN bewiesen ( GOLOWIN [l, 2]), daB k-nilpotente Produkte von k-nilpotenten Produkten immer k-nilpotente Produkte sind und ferner, daB die k-nilpotenten Produkte vollstiindig assoziativ sindl). Weiter hat Herr GOLOWIN (ibid.) gezeigt, daB der (freie) Kommutant zweier beliebiger Gruppen immer eine freie Gruppe ist.
Hauptzweck der vorliegenden Arbeit ist es, die entsprechenden, fur (allgemeine) regulare Produkte ' bzw. freie (normalisierte) Kommutanten beliebig vieler Gruppen von Herrn GOLOWIN [2] stammenden Fragen zu beantworten.
Wir werden niimlich zeigen (siehe 8s 3 , 4 dieser Arbeit), da13 e r s t e n s regulgre Produkte von regularen Produkten immer reguliire Produkte sind2) (Satz 3.1) und z weit ens der normalisierte') (freie) Kommutant einer beliebigen Menge von Gruppen immer eine freie Gruppe ist (Satz 4.4).
Was die erste Aussage betrifft, so kann man bemerken, daB der entsprechende Golowinsche Satz (GOLOWIN [2], Kap. 2, Satz 5.6) kein Spezialfall des meinigen l ) Bezuglich der Bezeichnungen und der Definitionen siehe 3 1 vorliegender Arbeit. *) Daraus folgt unter anderem, daB ,,ein reguliires Produkt einer Menge von Gruppen zu bilden" eine im Sinne von Herrn GOLOWIN (GOLOWIN [2], Kap. 2, 2.1) vollstandige reguliire Operation', in einer Menge von Gruppen zu betrachten, bedeutet.