Über den LAPLACE-Operator auf RIEMANNSchen Mannigfaltigkeiten mit diskontinuierlichen Gruppen

✍ Scribed by Walter Roelcke

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1960
• Tongue: English
• Weight: 837 KB
• Volume: 21
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19600210303

✦ Synopsis

Die vorliegende Arbeit bestelit zum Teil in einer Verallgemeinerung von Resultaten von M. P. GAFFNEY [l] auf den Fall automorpher Funktionen. Sie wurde ohne Kenntnis der letzteren Arbeit geschrieben, und es werden andere Methoden verwendet. Der LAPLACE-Operator der zumeist als vollstandig vorausgesetzten RIEMANNSChen Mannigfaltigkeit X wird auf Funktionenvektoren ausgeubt, die sich unter einer diskontinuierlichen Gruppe P von Isometrien von X vermittels einer unitiiren Darstellung x von T linear umsetzen. Zunkchst wird der GREENsche Satz unter verschiedenen Voraussetzungen bewiesen ( 5 2). Die Hauptschwierigkeiten riihren von der zugelassenen Nicht-Kompaktheit von X her. Neben einer bei Tinvarianten ,,Zerlegung der Eins" ist das Haupthilfsmittel eine Integralungleichung von vielleicht selbstandigem Interesse (Satz 2). I n 5 3 wird die wesentliche Selbstadjungiertheit des LuucE-Operators auf gewissen Definitionsbereichen im zustandigen HILBERT-Raum bei vollstiindigem X bewiesen. Endlichkeit des Inhaltes eines Fundamentalbereiches von T in X braucht nirgends gefordert zu werden. -Im Zusammenhang mit der Frage der Selbstadjungiertheit des LAPLACE-Operators ist auch M. S. NARASIMHAN [2] von Interesse.

81. Bezeichnungen und Begriffe

Es sei X eine n-dimensionale zusammenhangende RIEMANNsche Mannigfaltigkeit der Klasse 19". J e zwei ,,zul&ssige" lokale Koordinatensysteme von X hangen also auf dem Durchschnitt ihrer Giiltigkeitsbereiche durch eine beliebig (oft) differenzierbare Koordinatentransformation zusammen, und der MaBtensor von X ist in lokalen Koordinaten durch beliebig differenzierbare Funktionen gpv (1 5 p , v 2 n ) gegebenl). Die RnmNNsche Metrik sei definit, d. h. die Matrix (gpv) sei stets positiv-definit. Wir setzen