In dieser Arbeit wird angegeben, wann auf einer GRAssMANN-Mannigfahigkeit Gksn eine Spinstruktur existiert; ferner werden die hochsten Gewichte der Spinor-Moduln A , als so(%k ) xBo(k)-Moduln fur den Fall k = 2 angegeben sowie das Spektrum des Quadrates des DIRAC-Operators Q2 fiir den Fall n = 6 berechnet.
Es sei M eine parakompakte, differenzierbare und orientierbare RIEMANNsche Mannigfaltigkeit ; ( E , p , M, I") ein orientierbares Vektorbundel uber M, dessen assoziiertes SO(r)-Hauptfaserbundel sei 5 = (H, n, M , SO(r)). Das Bundel t besitzt eine Spinstruktur (7, f), wenn 7 ein Spin(n):Hauptfaserbundel 7 = (2, G , M, Spin (r)) ist undf : H -+ H eine stetige Abbildung derart, daB das folgende Diagramm kommutiert (e : Spin (r) + SO(r) ist die universelle, zweiblattrige Oberlagerung) : Zwei Spinstrukturen (7, f) und (q', f') heiBen gleich, wenn eine stetige Abbildung : H -+ H' mit f'p = f existiert. Das Vektorbiindel E besitzt eine Spinstruktur, wenn das assoziierte SO(r)-Hauptfaserbundel eine solche besitzt. SchlieSlich sagt man, M besitzt eine Spinstruktur, wenn das Tangentialbundel T M eine hat. M besitzt eine Spinstruktur genau dann, wenn die zweite STIEFEL-WHITNEY-Klasse verschwindet: w , ( M ) = 0 (vgl. [l]). Im folgenden besitze M eine (fixierte) Spinstruktur. Weiter sei der LEVI-CIvITA-Zusammenhang 2 : T H + Bo(r) gegeben, der eindeutig zu einem Zusaninienhang 2 : TH -+ spin (r) hebbar ist derart, daS TH '+spin(r) T H 3 ' do (r) kommutiert.
4 I 1 &, 54 Strew, ttber den Dirac-Operator Das Spinorbundel S ist das zu 2 mittels der Spinordarstellung A assoziierte Vektorbiindel S = ~zs,,fn(r) d. 2 induziert in S eine kovariante Ableitung auf den C"-Schnitten : vz : T(S) -+ T ( i * M @ S ) Man identifiziert T M und T * M uber die gegebene RIEMANNsChe Struktur. Die CLIFFORD-Multiplikation p : R' 63 d +. d induziert dann Homomorphismen p : T M €3 S --f S und p : r ( T M €3 S ) -+ r ( S ) .