Fur den linearen Raum X(X, a, p ) , dessen natiirliche Topologie zienilich grob ist (jede offene Menge enthalt stets einen unendlich-dimensionalen Teilraum), wird vermutet, da13 die Struktur des zugehorigen Endomorphismenrings besonders einfach ist. Als ein Schritt in diese Richtuiig kann Theorem 3.1 in IS] angesehen merden, welches besagt : Das Ideal der kompakten Endomorphismen von X(X, 3, p ) ist identisch mit dem Nulloperator. I n Verallgemeinerung dieses Ergebiiisses wird in dieser Arbeit im Abschnitt I gezeigt, daB die strikt singularen Endomorphismen ebenfalls trivial sind. Weiterhin konnen wir zeigen, daB die natiirlichen Endomorphismen dieses Raumes, namlich die Ringhomomorphismen, immer topologische Hornomorphismen mit einfach zu beschreibeiiden Bildrauinen sind (Abschnitt 11) und eine knappe Darstellung gestatten.
0. Definitionen und Bezeiehnungen
Sei ( X , a, p ) eine MaBalgebra mit p ( X ) = 1. Unter S(X, 81, p ) wollen wir den reellen, linearen Raum der reellwertigen, p-mel3baren Funktionen auf (S, ' 21, p ) verstehen. Wie ublich wollen wir Funktionen identifizieren, die sich nur auf einer Menge voni MaBe Null unterschejden. Versehen wjr S(X, ?I, p ) rnit der Topologie z der Xnl3konvergenz, so erhalten wir einen metrisierbaren, vollstandigen, topologischen linearen Raum. Eine der z erzeugenden Metriken ist die aucli in den folgenden Ausfuhrungen benutzte Metrik :
11 > 0 f x s Diese Metrik ist tr,znslationsiiivariaiit und beschrankt. Mit z ist S(X, ' 21, p ) eine Funktionenalgebra, und zwar ist z die grobste metrisierbare, lineare Topologie, so daS die Multiplikat,ion zweier Eleniente in S ( X , 81, p ) noch stetig ist (vgl. dazu [9]).
Fur Funktionen f , g E X(X, a, p ) schreiben wir f 5 g bzw. f 1 g, wenn auf X fast iiberall f ( t ) 5 g ( t ) bzw.f(t) * g ( t ) = 0 gilt. Mit suppf bezeichnen wir die