Über das wesentliche Spektrum des gestörten polyharmonischen Operators

✍ Scribed by Albin Weber

• Publisher: John Wiley and Sons
• Year: 1980
• Tongue: English
• Weight: 467 KB
• Volume: 94
• Category: Article
• ISSN: 0025-584X
• DOI: 10.1002/mana.19800940106

✦ Synopsis

In [4] wurde von JAFAEV fur den Fall 21 > n der gestorte polyharinonische Operator :

( -4 l + im HILBERT-Ramn L,(R") hetrachtet. Fiir ein nichtnegatives Potential q(z) wurde eine notwendige iind hinreichende Bedingung dafiir erhalten, daB das wesentliche Spektruin niit dein abgeschlossenen Interval1 [0, 00) zusaininenfallt1). In der vorliegenden Arbeit w i d ein entsprechender Satz fur eine bedeutend uinfangreichere Klasse von Potentialen q ( x ) bewiesen. Es zeigt sich, daI3 dabei diese notwendige und hinreichende Bedingung nicht niehr in so elementarer Gestalt forniuliert werden kann wie fur ein nichtnegatives Potential.

Wir heschreiben jetzt die Ergebnisse dieser Arbeit ausfuhrlicher. Fur ein beliebiges h > 0 iind eine natiirliche Zahl 1 init 21 > n wird der Differentialoperator

(1) A = h ( -1)' + q ( x ) , 0(.4) = C,"(R") '), betrachtet, wobei fiir das reellwertige Potential q ( x ) stets

(2) ! l 6 Lz,ioc(R") vorausgesetzt wird. Fiir I& = 1 erhillt inan den gestorten polyharinonischen Operator.

Fur ein (0 > 0 und ein a = (ui, ..., u,) E Rfl wird s gesetzt. In der Arbeit sind die folgenden drei Voraussetzungen beziehungsweise Bedingungen von Bedeutung: V1. Fiir jedes w > 0 gilt (3) liin in f J q ( x ) dx 2 0. Id-Q,,,+, l ) Fiir 21 d n wurde eiii ahnlicher Satz in [6] bewiesen. duch in diesem Fall wurde voin Verfa.sser eine mesentliche Verallgemeinerung erzielt, die Gegenstund einer weiteren Veroffent,lichung sein wird. *) Die Bezeichnungen werden spiiter erlautert.