Seit der Entdeckung des 4-Scheitel-Satzes dutch S. Mukhopadhaya (1909) und A. Kneser (1912) hat sich eine umfangreiche Literatur fiber Scheitel-und verwandte S~itze entwickelt. Unter anderem wurden ebene Bogen auf Scheitel hin untersucht bzgl. Charaktefistiken, welche von k >~ 1 Parametern stetig abh~ingen. 1 Wir legen ffir die wichtigsten S/itze aus diesem Teil der Theorie fiberarbeitete Definitionen und Beweise unter vereinfachten Voraussetzungen vor. 2 1. VORBEREITUNGEN Statt in einer Ebene operieren wir auf einer Sph~ire S im euklidischen Raum R 3. Durch eine stereographische Projektion k6nnen unsere Resultate unmittelbar in eine Ebene fibertragen werden. 1.1. Die Ordnunyscharakteristiken Erstens liege vor ein System Ig von Kurven C c S, 3 den Ordnungscharakteristiken (OChen), eine nat/irliche Zahl k >/1 und eine in S offene, nichtleere Punktmenge D c S. Die folgenden drei Bedingungen seien erffillt: (1) Zu jedem k-Tupel {x 1 ..... Xk} yon Punkten aus D existiert genau eine OCh C mit Xl,...,Xk~C. Wir schreiben dann C = C{xl,..., x~}. 4 Fiir je zwei OChen C un C' ist hiernach ICc~ C'~ DI--< k -1. 5 (2) Ist I Cc~C'~DI=k-1, so sind die Punkte von C~C'~D Schnittpunkte von C und C'. (3) Ist C=C{Xl .... ,xk}, C"=C{x],...,x~} fiir alle ne~ und gilt x~--,x i fiir i= 1,...,k, so gilt C"--*C. Dabei ist die Konvergenz C"~ C folgendermagen definiert. Seien C', C" a (a) O. Haupt u. H. K/inneth, Geometrische Ordnungen, Springer-Verlag, 1967, Teil I; (b) O. Haupt, 'Ober die Existenz ordnungshomogener Bogen in der Ebene beziiglich vorgegebener Ordnungscharakteristlken', Bull. Soc. Royale Sc. Lwge 30 (1961), S. 195-209. z Dabei kommt es uns weniger auf gr6BtmiSgliche Allgemeinheit an, als vielmehr auf Transparenz. 3 Als Kurven bezeichnen wit die topologischen Bdder des Kreises. 4 Wenn yon r Punkten x I ..... x r oder einem r-Tupel {x 1 ..... x,} von Punkten die Rede ist, so sind immer verschiedene Punkte gemeint, wenn nicht ausdrficklich etwas anderes gesagt ist. 5 IMI ist die M/ichtigkeit der Menge M(0 ~< [MI -<< oo).